基于2个不相交子集的MDS自对偶码构造

最大距离可分(maximum distance separable, MDS)自对偶码是一类最优线性码,在通信、数据存储和区组设计等领域有着广泛的应用,构造MDS自对偶码是当前编码理论研究的一个热点问题。文章基于有限域及其乘法群的2个不相交子集,利用广义Reed-Solomon(RS)码构造了几类新的MDS自对偶码;得到的MDS自对偶码具有灵活的长度。

自对偶码的构造

自对偶码是一类非常重要的线性码,构造这类码的方法非常多,文中将给出一种新的构造方法.通过这种构造方法,可以得到许多参数很好的自对偶码.

常循环码的自对偶码

主要研究了常循环码的欧氏自对偶码以及Hermitian自对偶码.通过运用离散的傅里叶变换,给出了欧氏自对偶常循环码的存在条件.进一步对常循环码的Hermitian自对偶码进行研究,给出了Hermitian自对偶常循环码存在的充分必要条件.

矢量自对偶形态学滤波算子

自对偶形态学算子不依赖形态学腐蚀、膨胀算子的先后次序,是一种等同处理图像背景和前景的形态学算子.而将自对偶形态学算子拓展到多通道图像处理是一个难题.为了解决该问题,提出了基于极值约束的矢量自对偶形态学滤波算子(EC-VSDMF).首先根据对称矢量排序算法构建满足对偶性的矢量形态学算子,然后依据形态学算子中的极值原理优化矢量集合,从而有效抑制矢量集合中包含单通道极值的矢量作为输出结果,最终实现了具有约束功能的矢量自对偶形态学滤波算子(VSDMF).实验结果表明,EC-VSDMF继承了传统自对偶形态学滤波算子的性质,将其应用于彩色图像滤波可以改善现有矢量形态学滤波算子导致滤波后图像亮度和色度发生偏移的问题.滤波后的图像在有效抑制噪声的同时较好地保留了图像细节,滤波性能甚至超过了多种现有的矢量中值滤波算子.

距离为6的二元自对偶码的子码

用随机搜索算法研究了码长n满足22≤n≤30且距离为6的二元自对偶码的子码,构造出它们的对偶距离为3、4、5和6的子码的生成矩阵。研究了这些子码构成的码链以及它们的对偶码构成的码链。利用所得到的码链,由Steane构造法构造出距离为5和6的具有很好参数的量子纠错码,改进了前人得到的几个量子纠错码的参数。

有限域上与k-型高斯正规基相关的自对偶正规基

设q为素数p的方幂,n为正整数,Fqn是q元有限域Fq的n次扩域,α∈Fqn生成Fqn在Fq上的k-型高斯正规基.给出了存在a,b∈Fq使得β=a+bα生成Fqn在Fq上自对偶正规基,以及存在a,b∈Fq,使得a+bα和a+bαn2生成Fqn在Fq上互为对偶的正规基的等价刻划.

Z_8上的自对偶码

求出了Ｚ８上码的生成矩阵及校验矩阵，并由此得到了Ｚ８上的码为自对偶码的必要条件是其码长为偶数；证明了满足一定条件的一对４元码可以构造出Ｚ８上的自对偶码。

2n维空间中的广义自对偶Yang-Mills方程的达布变换

从带负幂次谱参数的谱问题出发,构造了一类广义自对偶Yang-Mills方程.这类方程包括若干著名的Lax可积方程,如Takasaki情形、Belavin-Zakharov情形、AblowitzChakravarty-Takhtajall情形和Ma情形.进而建立了这类方程的达布变换的精确表达式.

有限域上一类自对偶正规基的乘法表与复杂度

设有限域F qn在F q上高斯正规基N的生成元α的线性组合β=a+bα(a,b∈F q)生成的自对偶正规基为B.给出了N和B的乘法表之间的关系,并由此得到N为最优正规基时,B的复杂度的准确计算公式.

有(17,3,1)型的二元自对偶编码[52,26,10]

通过对二元自对偶编码进行分类,证明了在等价情况下,有17阶自同构的二元自对偶编码[52,26,10]只有一种。

基于自对偶MDS码的P置换研究

P置换的设计是分组密码设计中的一个重要课题。一直以来,利用编码理论中的MDS码可以设计出许多性质优良的P置换。本文讨论了线性码中的自对偶MDS码,基于这种码,我们可以设计出性质比一般MDS码更好的P线性置换。文中我们给出了一种基于自对偶的广义RS码的线性置换的构造方法。

两类自对偶图

确定自对偶图的特征结构是尚未解决的图论中的困难问题，本文给出自对偶图的一个必要条件，并利用拟阵理论，构造出两类自对偶图．

有限域上的弱自对偶正规基

对有限域上的弱自对偶正规基的乘法表的特征进行了刻画,并对其复杂度进行了研究,得到了在几种不同类型的有限域扩张时此类正规基的下界描述.例如,若q为素数幂,E=F_q^n为q元域F=F_q的n次扩张,N={a_i=a^q~i|i=0,1,…,n-1}为E在F上的一组弱自对偶正规基,其对偶基由β=ca_r生成,其中c∈F~*,0≤r≤n-1,则当r≠0,n/2时,N的复杂度C_N为偶数且C_N≥4n-2.

基于自对偶测度的Choquet积分

提出了自对偶测度的定义,讨论了自对偶测度的简单性质,给出了基于自对偶测度的Choquet积分的定义,并讨论了该积分的基本性质.

有13-(4,m)型的二元自对偶码(m=2,4,6)

论述纠错码中的二元自对偶码,把码字看成二元域GF(2n)上的多项式,并分解因式。根据码长较短的二元自对偶码,构造出长度较长的二元自对偶码,并给出生成矩阵。运用2个码等价的类型,得到在等价下可能的码的分类情况,运行Matlab程序,证明具有13-(4,2)型自同构的二元自对偶码[54,27,10]只有8个等价的自对偶码。应用该方法,得到二元自对偶码[56,28,10]的生成矩阵。运行程序证明在等价情况下,存在16个有13-(4,4)型的自对偶码,而有13-(4,6)型的二元自对偶码[58,29,10]在等价下只有10种码。

有限非链环上的自对偶常循环码及其应用

纠错码是提高信息传输效率与可靠性的重要手段.构造性能良好的线性码类是纠错码研究中的一个基本问题.本文主要讨论了有限非链环Fq[v]/(v^m-v)上自对偶常循环码的代数结构,包括Euclidean自对偶常循环码、Hermitian自对偶常循环码以及Hermitian自对偶常循环码的极大距离可分(MDS)码.本文给出了环Fq[v]/(v^m-v)上常循环码是Euclidean自对偶码的充分条件,以及是Hermitian自对偶码的充要条件,并利用Gray映射构造了有限域Fq上一些参数较好的自对偶码.特别地,本文得到了有限域F192上一个新的参数为[16,8,6]的Hermitian自对偶码.

de Siter引力规范理论的双重自对偶—反自对偶分解与引力的联络动力学

从Ｄｉｒａｃ矩阵的Ｃｌｉｆｏｒｄ代数出发，建立一个ｄｅＳｉｔｅｒ引力规范理论，给出其Ｈａｍｉｌｔｏｎ表述，对Ｌｏｖｅｎｔｚ指标和时空指标进行双重自对偶—反自对偶分析，从而得到一个典型的杨－Ｍｉｌｓ型联络动力学引力理论，这个理论继承了Ａｓｈｔｅｋａｒ理论的优点，克服了它的不彻底性．

常循环码的s-Hermitian自对偶码

主要研究了常循环码的自对偶码.给出了s-Hermitian自对偶码的定义,并进一步给出了s-Hermitian自对偶常循环码的的充要条件.

环F2[u]/(u^2)上形式自对偶码的构造

文章通过推广环Z4上形式自对偶码的构造,给出了环R=F2[u]/(u^2)上形式自对偶码的3种构造方法。通过扩展环R上长度为n的形式自对偶码,构造了该环上长度为n+2的2种形式自对偶码。类似地,得到了环R上长度为n+2的自由的形式自对偶码。

四元域上自对偶码的子码链

利用构造性算法,对码长n介于10≤n≤20的四元自对偶码的子码进行了研究,构造出对偶距离为3、4、5或6子码的生成矩阵,得到了相应的自正交码。利用这些自对偶码及构造出的具有较好对偶距离的自正交子码构造出了码链,并且导出相应的L-链。最后作为对四元域上自对偶码的码链和L-链的一个应用,利用加性量子纠错码的构造方法构造出一些量子纠错码,其中一些码的参数改进了前人所得的结果。