比值审敛法解决的是正项级数sum from a=1 to ∞(n_a)的敛、散问题。对任意项级数。比值法无能为力。但任意项级数sum from a=1 to ∞(n_a)的敛、散性,依赖于sum from a=1 to (|n_a|)。即正项级数的敛、散性。对此,有两种情况:第一,若su...比值审敛法解决的是正项级数sum from a=1 to ∞(n_a)的敛、散问题。对任意项级数。比值法无能为力。但任意项级数sum from a=1 to ∞(n_a)的敛、散性,依赖于sum from a=1 to (|n_a|)。即正项级数的敛、散性。对此,有两种情况:第一,若sum from a=1 to ∞(|n_a|)收敛。则sum from a=1 to ∞(n_a)绝对敛。第二,若sum from a=1 to ∞(|n_a|)发散,则sum from a=1 to ∞(n_a)可能收敛,也可能发散。即对后者,sum from a=1 to ∞(n_a)敛、散性书上没有定论。但通过实践,我们发现,若sum from a=1 to ∞(|n_a|)的发散性是由比值法判断而得,则sum from a=1 to ∞(n_a)一定也发散。展开更多
定理:任意项级数（1）收敛【==】交错级数sum from n=1 to ∞(（-1）<sup>n+1</sup>U<sub>n</sub>)收敛。 证明:充分性 若sum from n=1 to ∞(（-1）<sup>n+1</sup>U<sub>n</sub>)收敛...定理:任意项级数（1）收敛【==】交错级数sum from n=1 to ∞(（-1）<sup>n+1</sup>U<sub>n</sub>)收敛。 证明:充分性 若sum from n=1 to ∞(（-1）<sup>n+1</sup>U<sub>n</sub>)收敛,由收敛必要性和柯西收敛准则有 即当 当,对任意自然数P 有 取 对任意自然数P,设是中的一项,展开更多
研究幂级收敛区间的难点是对端点处敛散性的判定。对于一般的幂级数sum from n=0 to ∞（a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>）x∈（-R,R）,在端点x=±R上就是通常的数项级数但对此数项级已不能用较简便的达朗贝...研究幂级收敛区间的难点是对端点处敛散性的判定。对于一般的幂级数sum from n=0 to ∞（a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>）x∈（-R,R）,在端点x=±R上就是通常的数项级数但对此数项级已不能用较简便的达朗贝尔或柯西判别法了,因为,当R为收敛半经时,比值(|a<sub>n+1</sub>|R<sup>n+1</sup>/|a<sub>n</sub>|R<sup>n</sup>)及根值v|a<sub>n</sub>|R<sup>n</sup>的极限只要存在则一定为1。因此需用其他审敛法,如比较判别法、积分判别法。展开更多
一、问题提出在高等数学“级数”一章中,由于教材的篇幅关系,判定级数敛散性的方法讲得不多,所以有些级数的敛散性无法用书上的办法去判定。例如 arcsinx=x+sum from n=1 to ∞（2n-1）.!/（2n）.!·x2n+1/2n+1 （-1≤x≤1） x/（1+...一、问题提出在高等数学“级数”一章中,由于教材的篇幅关系,判定级数敛散性的方法讲得不多,所以有些级数的敛散性无法用书上的办法去判定。例如 arcsinx=x+sum from n=1 to ∞（2n-1）.!/（2n）.!·x2n+1/2n+1 （-1≤x≤1） x/（1+x）1/2=x+sum from n=1 to∞（-1）n （2n-1）.!/（2n）.!×xn+1 （-1≤x≤1）在x=±1处右边级数的敛散性就无法判定。为了教学需要,应补充一个不等式。展开更多
文摘比值审敛法解决的是正项级数sum from a=1 to ∞(n_a)的敛、散问题。对任意项级数。比值法无能为力。但任意项级数sum from a=1 to ∞(n_a)的敛、散性,依赖于sum from a=1 to (|n_a|)。即正项级数的敛、散性。对此,有两种情况:第一,若sum from a=1 to ∞(|n_a|)收敛。则sum from a=1 to ∞(n_a)绝对敛。第二,若sum from a=1 to ∞(|n_a|)发散,则sum from a=1 to ∞(n_a)可能收敛,也可能发散。即对后者,sum from a=1 to ∞(n_a)敛、散性书上没有定论。但通过实践,我们发现,若sum from a=1 to ∞(|n_a|)的发散性是由比值法判断而得,则sum from a=1 to ∞(n_a)一定也发散。
文摘定理:任意项级数（1）收敛【==】交错级数sum from n=1 to ∞(（-1）<sup>n+1</sup>U<sub>n</sub>)收敛。 证明:充分性 若sum from n=1 to ∞(（-1）<sup>n+1</sup>U<sub>n</sub>)收敛,由收敛必要性和柯西收敛准则有 即当 当,对任意自然数P 有 取 对任意自然数P,设是中的一项,
文摘研究幂级收敛区间的难点是对端点处敛散性的判定。对于一般的幂级数sum from n=0 to ∞（a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>）x∈（-R,R）,在端点x=±R上就是通常的数项级数但对此数项级已不能用较简便的达朗贝尔或柯西判别法了,因为,当R为收敛半经时,比值(|a<sub>n+1</sub>|R<sup>n+1</sup>/|a<sub>n</sub>|R<sup>n</sup>)及根值v|a<sub>n</sub>|R<sup>n</sup>的极限只要存在则一定为1。因此需用其他审敛法,如比较判别法、积分判别法。
文摘一、问题提出在高等数学“级数”一章中,由于教材的篇幅关系,判定级数敛散性的方法讲得不多,所以有些级数的敛散性无法用书上的办法去判定。例如 arcsinx=x+sum from n=1 to ∞（2n-1）.!/（2n）.!·x2n+1/2n+1 （-1≤x≤1） x/（1+x）1/2=x+sum from n=1 to∞（-1）n （2n-1）.!/（2n）.!×xn+1 （-1≤x≤1）在x=±1处右边级数的敛散性就无法判定。为了教学需要,应补充一个不等式。
