线性微分方程解函数线性无关的几种证法

对于一般的常系数高阶线性微分方程,其解函数是否能构成方程的基本解组,需要证明其线性无关.利用行列式展开的直接法、高等代数中证明函数线性无关的定义法、算子法,并辅助反证法给出了详细的证明过程.

方程f(x+y)=f(x)·f(y)解函数特性

从一道高考题出发,运用了数学分析理论,较为深刻地揭示了方程f(x+y)=f(x)·f(y)解函数特性,导出了解函数f(x)的重要解析特征.

解函数与导数综合题时通法“难通”怎么办

函数与导数综合题其所含知识往往涉及函数、导数、方程、不等式等众多高中数学主干知识，解题方法往往要综合和灵活运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类与整合、构造法、分离参数法等数学思想方法，加上函数在中学数学中的特殊地位，因此这类题成了全国高考数学各省市试题的“常客”．

用好函数性质 巧解函数考题

对函数的考查是高考永恒的主题．在对函数的考查中，经常会出现与函数有关的方程、不等式等问题，这时就要利用函数的性质脱去函数的外衣，等价转化为简单的问题下面举例说明：

用好函数性质 巧解函数考题

对函数的考查是高考重点考查内容之一．在对函数的考查中，经常会结合与函数有关的方程、不等式等问题，这时就要利用函数的性质化复杂为简单，巧解函数题目．下面举例说明：

巧用“试解函数检验法”——求常系数线性非齐次微分方程的特解

熟练求解二阶常系数线性非齐次微分方程，是《高等数学（一）》自学考试大纲规定的基本要求之一。在2004年4月举行的自学考试试卷中，第29题就是这样的一道题：“求微分方程y＂＋7y＇＋10y=2e^-5x的通解”。这道题考生普遍反映比较难，得分率也比较低。之所以会产生这种现象，除了考生平时缺乏必要的训练之外，教材的表述不适宜自学也是重要的原因之一。

基本解方法中含圆孔多连域的基本解函数重构与应用

基于镜像技术,通过在圆形孔内外镜像点布置单位正源或负源,重新构造了满足圆孔内边界上的两类边界(Dirichlet,Neumann)的基本解函数.进一步将重构的基本解函数应用于含圆孔有限多连域调和方程边界值问题的基本解方法的计算.研究表明,通过应用重构的基本解函数,无需考虑圆孔内边界,极大减少了输入数据,计算效率得到较大提高,最大限度提高数值解精度.

基本解方法中多对称问题基本解函数的重构及应用

基于简化计算过程和提高计算效率的思想,对多对称区域中基本解方法的基本解函数进行了重新构造,重构后的基本解函数满足在对称轴上特定的边界条件.利用重构的基本解函数,可极大减少计算中涉及的边界.通过算例比较可见,在使用对称条件下,计算过程中所需处理的数据比使用原来基本解函数更少,线性方程组的奇异性得到极大的缓解,计算效率也得到很大提升.

例谈图像法求解函数零点问题的方法探析

1.问题呈现,2018年福建泉州5月质检理科数学卷中有一道关于方程实数解的试题引起笔者的注意.函数f(x)={e^x+ax+a/x+1,x>-1,x^2+4x+3,x≤-1,则关于x的方程f[f(x)]=0的实数解最多有().

用不动点法解函数、数列等相关问题

一般地，设函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使厂（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，或称（x0，x0）为函数y=f（x）图像的不动点．“不动点”是荷兰数学家布劳威尔（Brouwer）首先提出的．在近几年高考与数学竞赛中，以不动点理论为背景的试题频频出现．本文介绍用不动点法解函数、数列等相关问题．

用平移变换解函数难题

通过平移可以将复杂的图形或式子简化,还可以化未知为常见的图形或基本知识.因此应用平移变换的方法来解答一些难题就成为了一种重要方法,下面以几道例题说明.

此时无声胜有声——赏析音乐与三解函数

音乐,离开了数学就是杂音。音乐,是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受。人们把数学、音乐、图画作为宇宙的语言,与有智慧生命的“外星人”交往,可能吗?美国的“航行者”号太空船遨游在群星之中!飞船里有一张即使使用十亿年也瞭亮如新的唱片,它向“外星人”带去了人类的问候。唱片中有七段音乐,其中有一首是中国古琴曲《流水》,描述了人的意识与宇宙的交融。音乐靠听,图画靠看,数学靠思考,这是人类的三种本质属性,也应当是宇宙智慧生命的共同属性。

活用化归与转化思想,破解函数与导数难题

众所周知,思想是人类最强大的武器.同样地,数学思想方法也在数学解题中起着不可或缺的作用.高考中的函数与导数试题通常就是因其对考生的数学思想方法的运用能力有较高的要求而成为整份试卷“压轴题”,成为考生获取高分的“拦路虎”.本文将以笔者的解题实践,以“化归与转化思想”在求解函数与导数试题中的应用为载体,例说笔者的解题感悟.

另辟蹊径,巧解函数——已知导函数和原函数不等关系时的一种巧妙解法

2015年的高考拉下了帷幕，数学试题讨论也众说纷纭，作为一名高三数学老师，全国课标Ⅱ理数卷试题给我影响最深的是选择题的12题，这道题由导函数和原函数不等关系出发，来求解关于函数的性质问题，主要考察了函数与导数的构造，关键是如何抓住关系式特征.

速解函数f(x)=|x-a|+k|x-b|(k≠0)的最值问题

文[1],[2]中根据,“当k>1时,|x-a|+k|x-b|=|x-a|+|x-b|+(k-1)|x-b|≥|a-b|+(k-1)·0=|a-b|,仅当x=b时取等号”,给出了函数f(x)=|x-a|+k|x-b|(k≠0)的最小值求法.本文对其实质作探究,并形成一个针对此问题的快速解法.

赋值法在解函数问题中的妙用

在解答函数问题时,可根据题设条件及所给函数的有关性质,将变量赋予某些特殊值,并进行恰当的运算和代换,从而使问题解决的方法称为赋值法。下面举例说明赋值法在解函数问题中的常见妙用,供大家参考。

妙用图像规律 巧解函数问题

函数是高中数学的核心内容,对于绝大多数学生而言,函数的学习是具有较大难度的,再加上函数部分涉及的知识点较多,因此有部分学生会存在畏惧心理.在考试中,函数试题变式繁多,涉及许多函数的性质及变化,在很多的压轴题中,函数方法或思想是常见的考点,如果学生的函数学习基础不扎实,对函数方法掌握得不到位,那么在分析、解答这些问题时就会遇到困难,甚至是毫无思路.借助函数图像,学生能够理解函数的各种性质以及变化规律,是辅助学生学习、答题的工具.

用求导法解函数不等式问题的思路分析

通常情况下，通过对所研究的函数进行求导（导函数）可以得出其单调性和最（极）值，而单凋性和最（极）值从根本上反映了数量（自变量和函数值）间的不等量关系，因此，运用求导法解具有不等式意义下的函数问题已成为近年来部分省市高考命题的重要素材之一．本文通过近两年的有关高考题对其求解思路进行分析．

用三解函数的定义巧解三解函数问题

三角函数的定义是不断认知的,先用直角三角形中的线段之比来定义,再通过平面直角坐标系内点的坐标定义了任意角的三角函数,从而将三角函数的自变量从锐角推广到任意角,同时,要重视单位圆中的正弦线、余弦线、正切线在解题中的作用,加深对三角函数定义的理解,因此, 把握好三角函数的定义,可以简化解决三角函数问题, 1．

两类非线性微分差分方程的超越整函数解

本文应用亚纯函数的Nevalinna值分布理论,研究两类非线性微分差分方程f^(n)+af^(n-2)f′+q(z)e^(Q(z))f^(k)(z+c)=P(z)和f(z)^(n)+L(f)+q(z)e^(Q(z)f(k))(z+c)=P(z)的超越整函数解的增长性及零点分布,得到了解的增长性估计和零点分类,这里L(f)是线性微分多项式,q(z),Q(z),P(z)是多项式.