非线性常微分方程的计算不确定性原理——Ⅱ.理论分析

研究了常微分方程一般数值解法的误差传播规律 ,提出理论收敛性、数值收敛性和真实收敛性 3种收敛性概念 ,详细讨论了浮点机上一般数值解法的舍入误差的各种分量 .通过引进一类新的递推不等式 ,本质改进了线性多步法误差界的经典结果 ,结合概率理论导出了浮点机上舍入误差的“正常”累积增长 ,并给出一般多步法总误差的统一估计 .在此基础上 ,解释了数值试验中的各种现象 ,导得两个与方程、初值、数值格式无关且与数值试验中相一致的普适关系 ,并给出计算不确定性原理的明确数学表述 。

非线性常微分方程的计算不确定性原理——Ⅰ.数值结果

在大多数解初值问题的长时间数值积分计算中很少考虑由于机器的有限精度所导致的舍入误差 .利用 2 9种标准的数值方法 ,通过大量的数值试验深入考察了舍入误差的影响 ,发现在有限的机器精度下数值求解非线性常微分方程初值问题存在对机器精度强的依赖性 (是与对初值敏感依赖性不同的一种新的依赖性 )提出一种计算有限精度下数值方法的最大有效计算时间和最优步长的最优搜索法 ,得到最大有效计算时间和最优步长与数值方法的阶数及机器精度之间的关系 .数值分析结果表明舍入误差在上述现象中起着至关重要的作用 ,并发现两个与方程、初值及数值格式无关的普适关系 .根据数值试验结果提出一个计算不确定性原理 ,这个原理对于非线性常微分方程的长时间数值积分的可靠性提出了挑战 .

Computational uncertainty and optimal grid size and time step of the Lax-Friedrichs scheme for the 1D advection equation

本文对于应用Lax-Friedrichs格式数值求解一维平流方程,研究数值求解过程中产生的截断误差与舍入误差,以及两种误差逐层向高时间层传播的累积,得到新的数值解总误差上界的理论近似公式,以及最优格距和最优时间步长的理论公式.通过数值算例验证了所得公式的可靠性。然后,发现了两种不同机器精度下最优时间步长之比满足的一个仅与机器精度有关的普适关系.最后,理论验证了在网格比固定的情况下,此问题满足数值计算的不确定性原理,以及在机器有限精度下最优时间步长的必然存在。

气候系统全局分析理论及应用

简要概述了气候系统全局分析理论的思想和主要理论结果, 给出气候系统全局行为定理, 即气候动力学方程组存在全局吸引子, 随着时间的增长气候系统演化到全局吸引子上, 说明气候系统具有向外源强迫的非线性适应过程, 并指出强迫、耗散和非线性对系统长期行为的不同影响, 总结了全局分析理论现有的主要应用, 重点阐述了该理论在气候适应和演变过程、数值模式设计原则及最优数值计算三方面的应用成果.