基于第一类Whitney单元的FETD中质量矩阵集中公式的一种推导

给出基于第一类Whitney基函数的时域有限元方法中质量矩阵对角化公式的一种推导方法。在单元内部电场为常量场的假设下,使用局部仿射坐标架,确定出每个单元上自由度所服从的约束关系,由此导出对角化质量矩阵的公式。分别考虑了二维和三维两种情况。

埃尔米特梁单元的分块对角与高阶质量矩阵

埃尔米特梁单元常用的集中质量矩阵,是由挠度自由度对应的一致质量矩阵元素通过行求和或节点积分构造.然而,数值结果表明该集中质量矩阵在求解包含自由端的梁振动问题时,会出现频率精度掉阶现象.本文首先从保障质量矩阵最优收敛性的数值积分精度出发,分别针对三次和五次梁单元,发展了质量矩阵的梯度增强节点积分方案.利用梯度增强节点积分方案,可以得到具有分块对角形式的单元质量矩阵,而其组装的整体质量矩阵除边界节点外仍然呈现对角形式.对于两种单元,其分块对角质量矩阵分别具有4阶最优精度和6阶次优精度.再者,将标准一致质量矩阵和具有同阶精度的梯度增强节点积分质量矩阵进行优化组合,建立了具有超收敛特性的高阶质量矩阵.最后,通过数值算例系统验证了三次和五次单元的分块对角与高阶质量矩阵的频率计算精度.

集中质量矩阵替代一致质量矩阵的合理性与局限性

文中分析了集中质量矩阵取代采用一致质量矩阵后对体系自振频率造成的误差,并指出集中质量矩阵应该有条件的使用。并根据相对容许误差,给出了实际计算中采用集中质量矩阵时单元尺寸的选取方法。

梁动力分析的集中质量矩阵严格生成方法

在对梁振动进行有限元分析时,现有的质量矩阵对角化技术忽略了转角自由度所对应的质量,导致生成的集中质量矩阵失去了其正定性,这对时域分析以及频域分析等都造成了相当大的不便。采用数值流形方法,首先在单位分解法框架下,从Hermite插值中取回单位分解和局部近似;其次通过流形上的积分来求得集中质量矩阵;最后再回到单元的集中质量矩阵。相对于一致质量矩阵的计算,集中质量矩阵的计算精度有了一定的提高,特别是对于求解高阶模态时的速度提升尤为显著。该方法有着严格的数学基础和力学基础,为二维乃至三维结构的动力计算提供了新思路。

三维20节点六面体和10节点四面体单元的高精度中节点集中质量矩阵

对于工程分析中常用的三维20节点六面体和10节点四面体单元,采用行求和法得到的集中质量矩阵由于包含负质量元素,难以直接用于动力分析.虽然常用的主对角元素放大法,即HRZ方法,可以有效规避负质量元素,但是该方法仍缺乏理论层面的精度分析.本文首先以三维20节点六面体单元为例,构造一种包含待定参数的广义集中质量矩阵,并将HRZ集中质量矩阵作为特例涵盖其中,进而建立了20节点六面体单元广义集中质量矩阵的频率精度表达式.然后,通过参数优化,提出20节点六面体单元的中节点集中质量矩阵构造方法,并从理论上证明其精度优于HRZ集中质量矩阵.该中节点集中质量矩阵形式简单,非常便于推广到10节点四面体单元.此外,利用中节点集中质量矩阵含有主对角零质量元素的特点,通过静力凝聚建立了相应的动力分析降阶模型,在保证计算精度的同时可大幅提升计算效率.自由振动和时程分析结果均表明,对于三维20节点六面体单元和10节点四面体单元,中节点集中质量矩阵的计算精度明显高于HRZ集中质量矩阵.

Chebyshev谱元法模拟波动的两种集中质量矩阵

波动模拟是工程结构抗震分析的重要手段之一。Chebyshev谱元法是一种高精度的微分方程求解方法,模拟波动问题时具有高精度和高效率的特点,因此受到广泛关注。Chebyshev谱元法求解波动问题时的质量矩阵是一致质量矩阵,即空间耦合矩阵,当和时域分析方法联用时,为时空耦合格式,每步计算需要联立求解线性方程组,计算效率受到了制约。本文在Chebyshev谱元法一致质量矩阵的基础上导出了两种集中质量矩阵:数学集中质量矩阵和物理集中质量矩阵,给出了两者的数学表达,并采用这两种集中质量矩阵下的Chebyshev谱元法结合时域中心差分法求解一维波动问题,此种模拟方案为时空解耦方法。数值分析表明,采用Chebyshev集中质量矩阵配合时域中心差分法模拟波动的方案具有较高的计算精度,并且每步计算不需要联立求解线性方程组,可以大幅度提高计算效率。其中,数学集中质量矩阵的计算精度要高于物理集中质量矩阵。

两种质量矩阵在梁模态分析中差异的比较

一致质量矩阵与集中质量矩阵是结构动力分析中常用的质量矩阵形式。为分析它们对结构频率的影响,本文将梁单元的一致质量矩阵与集中质量矩阵的差别分解为4个部分,通过实例讨论了各个部分所引起的频率差异在这两种质量矩阵形式的频率总差异中所占的比重,指出弯曲转动惯性的影响及单元自由度之间的相互耦合是这两种质量矩阵在梁模态分析中表现出来的总差异中的主要原因。

利用组合质量矩阵压制数值频散

波动方程数值模拟一直受到频散效应的影响。利用有限元模拟声波方程时,协调质量矩阵和集中质量矩阵对频散误差起着相反的作用:协调质量矩阵使频散误差领先于真实信号,而集中质量矩阵使频散误差落后于真实信号。因此利用两种质量矩阵的线性组合能有效压制数值频散。速度对组合系数的影响很小,在2500～4000m/s范围内,最优组合系数均约为0.5。这种压制数值频散的方法,具有不增加额外计算量且不导致算法复杂的特点,能够适应变速模型。

无网格动力法中质量矩阵构造方法研究

无网格动力法中质量矩阵的构造对计算结果的精度有着重要影响。本文就无网格动力法中质量矩阵的构造方法,给出了一致质量矩阵和集中质量矩阵的数学表达式,运用MATLAB软件编制了基于不同质量矩阵的无网格动力法计算程序,对无约束矩形板不同质量矩阵构造下的频率和振型进行了对比计算。结果表明:采用集中质量矩阵时,结果受节点划分的影响较大,只有节点划分足够密集时,结果才趋于精确值;而采用一致质量矩阵时,结果受节点划分的影响较小,说明了一致质量矩阵在无网格动力法质量矩阵构造中的优越性。

起伏地表复杂介质波动方程有限元数值模拟方法

波动方程数值模拟是深入研究地震波传播规律的有效方法.有限差分法因其方法简单、精度高而得到了广泛的应用.但其缺点是不能准确模拟具有复杂几何形态的物性界面.因而当遇到起伏地表或复杂构造时,求解精度低.为了准确模拟起伏地形、复杂构造和复杂介质条件下的地震波场,本文采用有限元法模拟二维声波方程.用三角形单元模拟地形和速度界面;把单元内的场和波速均看作单元上的线性函数,以适应复杂介质压制边角散射;采用吸收边界条件去除来自截断边界上的反射;采用集中质量矩阵和集中阻尼矩阵使得显式时间递推无需对矩阵求逆,提高了计算效率.对模型的计算表明该方法正确有效.

波动方程有限元叠前逆时偏移

为研究起伏地表、复杂构造以及复杂速度分布条件下地震数据的精确成像方法,本文采用有限元法完成观测波场的声波方程逆时外推,并提出了以节点波场最大振幅出现时间作为成像时间的最大振幅成像条件。该成像条件不同于激发时间成像条件,它基于波动理论而不是射线理论,可使能量更好地聚焦。有限元法采用六节点三角形单元,对单元内的场和速度均作二次插值以提高模拟精度;用对角化的集中质量矩阵代替协调质量矩阵,避免了矩阵求逆,提高了计算效率。通过对带地形的凹陷模型、Mormousi模型及带地形的Mormousi模型等三个理论模型的计算,结果表明该方法能够有效处理复杂地质条件下的地震成像问题,对于复杂地质体中的断层、断块、背斜构造、高速体和目标体成像都比较清晰,位置准确。尤其对于基于起伏地表直接进行偏移的模型数据也得到了较好的成像结果。

稀疏存储的显式有限元三角网格地震波数值模拟及其PML吸收边界条件

有限元法是复杂介质地震模拟的有力工具,它能比较客观地反映地震波的传播,比较细致地再现地震图像.但是,为了获得较精确的结果,有限元法模拟地震波的传播需要的网格点数多,具有计算量大和消耗内存多的缺点.针对上述缺点,本文对刚度矩阵采用压缩存储行（CSR）格式,以减少计算量并节省内存;采用集中质量矩阵得到对角的质量矩阵以提高有限元法（显式有限元）的计算效率;时间离散采用保能量的Newmark算法以提高有限元法的计算精度;采用变分形式（弱形式）的PML吸收边界条件对人工截断边界进行处理.通过与高精度的数值方法——谱元法的数值试验的对比表明,上述方法的引入可使有限元法在计算精度和计算效率方面均可取得比较显著的改进.为了获得相当的计算精度,相比于7阶谱元法,显式有限元法需要更精细的网格.然而,显式有限元法的计算速度比前者快近2倍,而内存需求仅为谱元法的1/4～1/6.

Mindlin板弯曲和振动分析的高阶杂交应力四边形单元

基于Mindlin板理论提出了一种高阶八节点杂交应力四边形单元.该单元不仅能通过零剪力分片检验,而且能通过非零常剪力增强型分片检验.单元边界位移插值采用任意阶Timoshenko梁函数,对不同厚跨比的四边简支、固支方板,以及圆板进行了弯曲和自由振动分析,数值结果表明无论对薄板还是中厚板,该单元均是准确和有效的,并且具有几何不变性.

有限元算法在声波方程数值模拟中的频散分析

针对有限元算法在地震波数值模拟中的数值频散问题,利用集中质量矩阵双线性插值有限元算法,推导了二维声波方程的频散函数.在此基础上采用定量分析方法,对比分析了网格纵横长度比变化时的入射方向、空间采样间隔、地震波频率以及地层速度对数值频散的影响.数值算例和模型正演结果表明:当采用集中质量矩阵双线性插值有限元算法时,为了有效地压制数值频散,在所使用震源子波的峰值频率对应的波长内,采样点数目应不少于20个;减小网格长度的纵横比可以有效地抑制入射角(波传播方向与z轴的夹角)较小的地震波的数值频散;地震波频率越高,传播速度越慢,频散越严重,尤其是当相速度与其所对应的频率比值小于2倍空间采样间隔时,不仅会出现严重的数值频散,还会出现假频现象.

利用有限元解波动方程求取初至时间

叠前逆时偏移需要计算成像点的初至时间。射线追踪法因为计算效率高,常被用作旅行时的计算,但难以处理速度剧变和非规则网格情形。常用的有限元法在求解波动方程时,也会像有限差分法一样存在数据频散问题。本文采用有限元解波动方程获取地震波初至时间,与一般有限元法的主要区别在于利用集中质量矩阵压制时间频散使波前形态保真,并给出了根据震源子波第一极值出现时间求初至时间的方法。数值实验结果表明该方法能适用于非规则网格和速度剧变界面情形。

一致质量矩阵在向量式有限元中的应用

为研究一致质量矩阵在向量式有限元分析中的应用,采用第二类拉格朗日方程建立向量式有限元的质点运动方程,从能量原理推导了一致质量矩阵、集中质量矩阵和力矩阵,并引入节点位移约束,对两种质量矩阵在杆系结构中的向量化方程及含义作了对比.进一步通过受冲击荷载的无约束杆算例和受突加荷载的平面桁架算例,对比了采用两种质量矩阵的向量式有限元、刚体动力学及ANSYS分析软件得到的动力响应.结果表明:在瞬态动力分析中,采用一致质量矩阵比集中质量矩阵得到的结果更精确.当计算刚体平动时,两种质量矩阵的计算结果接近;而当计算刚体转动时,采用一致质量矩阵的向量式有限元方法具有较好的计算精度和效率,从而验证了一致质量矩阵在向量式有限元中的适用性和精准性.

饱和–非饱和渗流的数值流形法研究与应用

非饱和渗流问题涉及岩土、水利和环境等众多领域,合理有效地模拟非饱和渗流过程具有重要意义。基于数值流形方法(numerical manifold method,NMM)的覆盖思想,建立了非饱和渗流Richards方程的NMM离散格式,相比于有限元方法(finite element method,FEM),NMM的前处理更为灵活,对复杂边界具有更强的适应性。欠松弛技术和集中质量矩阵的引入,有效抑制了求解过程中的数值震荡现象。通过对一维和二维非饱和渗流算例的模拟,验证了算法的有效性与可靠性。

基于紧凑存储的任意四边形网格有限元法地震波场数值模拟

采用有限元法精确模拟复杂介质条件下的地震波场,一般采用三角单元,但在节点数相同的情况下,三角单元的计算精度不如矩形单元高,采用三角单元模拟复杂界面时,编制确定结构刚度矩阵非零元素位置的程序也较为麻烦。采用矩形单元离散含有倾斜或起伏界面的地质模型时,无法避免绕射噪声,若加密网格又会增加计算量。为此,本文基于任意四边形单元模拟声波的传播,在倾斜或起伏界面条件下,可以有效避免因离散引起的"阶梯状"界面,在不增加计算量以及内存占用的前提下,有效地消除离散绕射噪声。采用对角的集中质量矩阵代替一致质量矩阵,避免矩阵的求逆运算,从而提高显式有限元法的计算效率;对结构刚度矩阵采用紧凑存储格式,每一行需要存储的元素最多为5个,同时零元素不参与运算,既减少内存的占用,又极大地提高计算效率。

基于双二次插值的地震波场有限元法数值模拟

有限元法是地震波场数值模拟最常用的一种方法,能够比较客观地反映地震波在复杂介质中的传播规律。为了提高有限元法数值模拟的计算效率和减少内存占用,采用双二次插值法实现了二维声波方程的有限元法数值模拟。在矩形网格剖分情况下,取每个单元的4个角点和4边中点为节点,在单元内采用双二次函数进行插值;根据质量守恒原则,将单元的质量分配到8个节点上,得到角节点质量非负的集中质量矩阵,避免矩阵的求逆运算;对结构刚度矩阵采用紧凑存储(只存储结构刚度矩阵下三角部分的非零元素),使得结构刚度矩阵每一行需存储的元素不超过11个;同时在时间循环过程中零元素不参与运算。模型算例的双二次插值有限元法数值模拟结果与双线性插值有限元法数值模拟结果对比表明,在无可见数值频散情况下,前者单步耗时更短,内存占用更少。