有限超特殊p-群的一个注记(英文)

本文获得了以下结果:设G为有限超特殊p-群.则下列条件等价:(1)G的非平凡特征子群的阶相同;(2)G的非平凡特征子群唯一;(3)当p>2时,expG=p;当p=2时,G(?)D_8.

广义超特殊p-群的自同构群Ⅲ

确定了广义超特殊p-群G的自同构群的结构.设|G|=p^(2n+m),|■G|=p^m,其中n≥1,m≥2,Aut_fG是AutG中平凡地作用在Frat G上的元素形成的正规子群,则(1)当G的幂指数是p^m时,(i)如果p是奇素数,那么AutG/AutfG≌Z_((p-1)p^(m-2)),并且AutfG/InnG≌Sp(2n,p)×Zp.(ii)如果p=2,那么AutG=Aut_fG(若m=2)或者AutG/AutfG≌Z_(2^(m-3))×Z_2(若m≥3),并且AutfG/InnG≌Sp(2n,2)×Z_2.(2)当G的幂指数是p^(m+1)时,(i)如果p是奇素数,那么AutG=〈θ〉■Aut_fG,其中θ的阶是(p-1)p^(m-1),且Aut_f G/Inn G≌K■Sp(2n-2,p),其中K是p^(2n-1)阶超特殊p-群.(ii)如果p=2,那么AutG=〈θ_1,θ_2〉■Aut_fG,其中〈θ_1,θ_2〉=〈θ_1〉×〈θ_2〉≌Z_(2^(m-2))×Z_2,并且Aut_fG/Inn G≌K×Sp(2n-2,2),其中K是2^(2n-1)阶初等Abel 2-群.特别地,当n=1时,AutfG/InnG≌Zp.

一类广义超特殊p-群的因子分解数

设G是一个有限群,A,B是G的两个子群,若G=AB,则称G被A和B因子分解.设G是如下的一类广义超特殊p-群,G=<x,y,z|x^p=y^p=z^(p^m)=1,[x,z]=[y,z]=1,[x,y]=z^(p^(m-1))>,m≥1,则G的因子分解数被确定.

广义超特殊p-群的自同构群

确定了广义超特殊p-群G的自同构群的结构.假设|G|=p2n+m,|ζG|=pm,其中n1,m2,(1)当p是奇数时,记AutGG={α∈AutG|α在G上作用平凡},则(i)AutGGAutG,AutG/AutGG=～Zp1;(ii)如果G的幂指数是pm,那么AutGG/InnG=～Sp(2n,p)×Zpm1;(iii)如果G的幂指数是pm+1,那么AutGG/InnG=～(KSp(2n2,p))×Zpm1,其中K是p2n1阶超特殊p-群.特别地,当n=1时,AutGG/InnG=～Zp×Zpm1.(2)当p=2时,(i)如果G的幂指数是2m,那么OutG=～Sp(2n,2)×Z2×Z2m2.特别地,当n=1时,|AutG|=3·2m+2,AutG的Sylow子群都不是正规子群,并且AutG的Sylow2-子群都同构于HK,其中H=Z2×Z2×Z2×Z2m2,K=Z2.(ii)如果G的幂指数是2m+1,那么OutG=～(ISp(2n2,2))×Z2×Z2m2,其中I是一个22n1阶初等Abel2-群.特别地,当n=1时,|AutG|=2m+2并且AutG=～HK,其中H=Z2×Z2×Z2m1,K=Z2.

关于广义超特殊p-群的自同构群

用如下的方式确定了广义超特殊p-群G的自同构群.设|G|=p2n+m,|ζG|=pm,|N|=pl并且GNζG,其中n1且m2.AutnG表示AutG中平凡地作用在N上的所有自同构形成的正规子群.则(1)当p是奇素数时,AutG/AutnG≌Z(p-1)pl-1.进一步地,(i)如果G的幂指数是pm,则AutnG/InnG≌Sp(2n,p)×H.(ii)如果G的幂指数是pm+1,则AutnG/InnG～=(KSp(2n-2,p))×H,其中K是一个阶为p2n-1的超特殊p-群.这里H=1(如果m=l)或者Zpm-l(如果m>l).(2)当p=2时,AutG=AutnG(如果l=1)或者AutG/AutnG～=Z2l-2×Z2(如果l2).进一步地,(i)如果G的幂指数是2m,则AutnG/InnG≌Sp(2n,2)×H.(ii)如果G的幂指数是2m+1,则AutnG/InnG～=(KSp(2n-2,2))×H,其中K是一个阶为22n-1的初等Abel2-群.这里H=Z2m-2×Z2(如果l=1),1(如果l2并且l=m),或者Z2m-l(如果l2并且m>l).

广义超特殊p-群的自同构群(Ⅱ)

重新确定了广义超特殊p-群G的自同构群的结构.设|G|=p^(2n+m),|ζG|=p^m,其中n≥1,m≥2,Aut_cG是AutG中平凡地作用在ζG上的元素形成的正规子群,则(i)若p是奇素数,则AutG=〈θ〉×Aut_cG,其中θ的阶是(p-1)p^(m-1);若p=2,则AutG=〈θ_1,θ_2〉×Aut_cG,其中〈θ_1,θ_2〉=〈θ_1〉×〈θ_2〉≌Z_(2m-2)×Z_2.(ii)如果G的幂指数是p^m,那么Aut_cG/InnG≌Sp(2n,p).(iii)如果G的幂指数是p^(m+1),那么Aut_cG/InnG≌K×Sp(2n-2,p),其中K是p^(2n-1)阶超特殊p-群(若p是奇素数)或者初等Abel 2-群.特别地,当n=1时,Aut_cG/InnG≌Z_p.

广义超特殊p-群中的非交换集

设G是一个群,若对于任意x,y∈X(?)G且x≠y,都有xy≠yx,则称X是G的一个非交换集.进一步,如果对于G中的任意其他非交换集Y,都有|X|≥|Y|,那么称X是G的一个极大非交换集.本文确定了广义超特殊p-群G的极大非交换集的势.

有限P-可解群的P-长

如果有限群G有次正规列,即1=G0?G1?…?Gt=G,对任意的i∈{1,2,…,t},都有截面Gi/G(i-1)或为交换群或为p′-群,则群G被称为p-可解群。通过对特殊p-群、超特殊p-群的性质分析,讨论了饱和群系中p-长不等于1的p-可解群的一些性质。应用极小阶反证法证明:若■是一个饱和群系,并且群G是一个p-长不等于1的p-可解群,用非空集S(G)表示G所有截面A/B的集合,如果满足截面A/B的p-长不等于1且截面A/B的一个Sylow p-子群同构于极小非■群K的■-上根,若■或■,那么p=3且S(G)中具有极小阶的所有截面同构于[Z3×Z3]SL2(3)。

Winter定理和Dietz定理的推广

设G是由中心扩张1→Z_(p^m)→G→Z_p×…Z_p所决定的有限p-群,且|G'|≤p.确定了G的自同构群结构。

关于华罗庚和段学复的一个猜想

设G是有限p-群,|G|=pn.对于0mn,G的pm阶子群的个数记为sm(G).华罗庚和段学复曾经猜想:对于任意的有限p-群G,只要p>2,sm(G)模p3只可能同余于1,1+p,1+p+p2或1+p+2p2等四种情形.本文对此猜想进行研究,给出了此猜想成立的一些群类及此猜想不成立的一些群类.