超越几何-教学篇·第九讲 对几个“数学问题”的研究

一、第一题题目:Rt△ABC的斜边为定长2m,以斜边的中点O为圆心作半径为定长n(n>m)的圆,BC的延长线交圆O于P、Q,证明:AP2+AQ2+PQ2为定值。我发现:题设条件“n>m”是多余的,也就不必需要圆O与BC的“延长线”相交。

超越几何级数的敛散性再讨论

本文不用高斯判别法和无穷秉积理论而借助于一个简单的不等式较简捷地讨论了超越几何级数的敛散性,并给出了几项应用。

超越几何-技巧篇·第六讲 图形割补、动作延迟与记录工具

一、图形割补与动作延迟 本例表现正方体被截出一角的情形:开始显示一个完整的正方体。双击某按钮后正方体被截下一角(未分开)单击鼠标后该角移出;双击另一个按钮,该角移回原位,单击鼠标重成一个整体。 1.作正方体ABCD-A’B’C’D’,为线段BC、CD、CC’和点C制作一对按钮来控制它们的隐现,命名为“显示完整”和“隐藏完整”(图1)。

超越几何-技巧篇·第九讲 车轮运动与弹簧振子

第八讲我们学习了将两个相互独立的简单运动叠加在一起成为一个复合运动的方法,本讲将介绍如何用几何画板模拟车轮运动和弹簧运动。一、车轮运动1.分析像第八讲一样,车轮运动也可以分解为两个运动:移动和转动。但与第八讲不同的是,这两个运动是相关的,实际上是一个运动。如图1所示,车轮从左向右运动时,点A运动到A',点B运动到B',半径AB运动到A’B’。弧n的长度等于线段m的长度,而n/r即为弧n所对的圆心角的弧度数。

超越几何-技巧篇·第五讲 几何画板的变换功能

本讲我们将以制作正多面体的图像为例,来学习几何画板的变换功能,同时也得到一些有用的记录。 我们知道,正多面体有正四面体、正六面体(正方体)、正八面体、正十二面体和正二十面体 (图1)。

基于超越几何规划的热轧操作优化问题

针对钢铁热轧生产操作优化问题,建立热轧操作优化模型.该模型的难点是,模型具有高度非线性的特征,难以获得最优解.考虑模型数学表达式的结构特点,将操作优化模型等价转化为超越几何规划模型,由于获得的模型存在对数项,无法直接有效求解,利用模型的结构特点,通过数学变换和理论分析,转化为凸规划模型,从而利用凸规划软件获得最优解,为操作优化问题获得全局最优解提供一种新方法.

不透水地基上堤坝渗流计算的理论解

提出堤坝流态分区的概念和在流量固定条件下,上下游流态互不影响的法则。这使堤坝的渗流求解趋于简化和方便。增添新的理论计算式计有:上游区浸润线反弯点位置的计算式,下游区浸润线方程的解析开拓式和式前的待定常数的计算式以及下游区的附加渗径长度计算式等。按努美罗夫理论解?L1=C1H1-C2q/k和柯钦娜理论解q/k=μh0,高精度计算出上游区附加渗径长度?L1的比例系数C1和C2以及流量和出逸点高度关系式的比例系数μ,并据以提出有足够精度的C1,C2和μ的拟合计算式,以便于应用。经数值比较,得出比例系数C1全同于边坡有压流附加渗径长度的比例系数C0的结果。对于有尾水位的堤坝,提出了计算出逸点高度和下游区附加渗径长度的两经验计算式,据以计算的结果和有限单元法相符。

不透水地基上设有排水棱体堤坝渗流计算的理论解

论述了堤坝下游设有棱体和褥垫排水堤坝的渗流计算,排水边界的坡角大于90°。主要内容和成果有:①对于下游水深H2=0的棱体排水,按柯钦娜式q/k=μh0,高精度计算出流量和出逸点高度关系式的比例系数μ的倒值,并提出相应的1/μ拟合式,以便于应用,应用转化的超越几何函数,导出出逸段的坡降计算式,并具体计算出排水边坡坡角90°,135°,180°的出逸坡降分布;②应用速度平面保角变换的简化方法,导出排水棱体临界水深HC的计算式,其推导过程较之努米诺夫的混合函数法大为简化,另提出相应的HC拟合式,以便于应用;③对于下游水深H2≥HC的棱体排水,按努氏式ΔL2=D1H2+D2q/k,高精度计算出下游区附加渗径ΔL2式的比例系数D1和D2,并提出相应的拟合式,以便于应用,应用保角变换求出该型堤坝下游区的精确解,再结合努氏的上游区精确解,举出一具体算例,精确计算出堤坝的流量和渗透系数的比值q/k,出逸点高度hs,出逸段坡降I的分布,以及全程浸润线和上下两反弯点的坐标,可借以校核该型堤坝渗流有限元计算程序和其它近似计算方法的正确性及其计算精度;④对于下游水深0<H2<HC的棱体排水,提出出逸点高度hs和下游区附加渗径ΔL2两近似理论计算式,据此算出的q/k和hs,与有限元计算的结果相符。

培养创新意识的实践园地

在研究、探索问题,开展“数学实验”的过程中,可以看出,几何画板提供了一个“探索式”的学习环境,一个培养创新意识的实践园地。许多学校让学生掌握几何画板,用几何画板学习,得到了一些令老师吃惊的结果。一次课外数学活动,我让同学们用几何画板研究一个问题:△ABC的边BC固定,点A在定圆O上运动,观察它的垂心H的轨迹形状。没有想到一个同学研究出了这么一个结果:如果另一个△EFG的顶点E、F固定。

观察数学现象的“望远镜”

有了望远镜,我们能看清楚远处看不清、看不到的景物。几何画板就是一个观察数学现象的“望远镜”,它能帮助我们思考,“延伸”大脑的功能。我们不知道数学家是如何发现“三角形的垂心H、重心G、外心W在一条直线上,并且HG=2GW”这个结论的,至少现在我们知道当初如果有了《几何画板》,这件事要好办得多。这是《数学通报》“数学问题”

网络环境下的教与学案例——数学《点的轨迹的探求》说略

本课例2000年在南京市教委、南京教育信息网举办的“优秀教学设计及课件评比”活动中获一筹奖,并推荐参加江苏省电教馆12月中旬主办的“基于网络环境下的学与教说课评比研讨活动”。

两条抛物线焦参数间的关系

有一个朋友让我用几何画板表现一个点的轨迹,题目是:设点P是抛物线X2=y(做成X2=2py,p>0)上任意一点经过点P的切线与双曲线xy=2(做成xy=n,n≠0)相交于点M、N,表示线段MN的中点Q的轨迹。

Bazilevic函数的偏差定理

改进和完善（１．８），（１．９）和（１．１１），（１．

构造等式和不等式讨论级数的敛散性

利用级数的收敛准则讨论级数敛散性时，常用到等式与不等式的变换。本文通过构造的等式与不等式来讨论级数的敛散性，可简捷讨论路经。

计算器中函数功能的开发和计算器缺陷的弥补

一、计算器中函数的介绍打开几何画板的计算器,选择“函数”下拉列表(图1),可以找到如下函数:sin、cos、tan、arcsin、arccos、arctan、abs(绝对值)、sqrt(开平方)、ln(自然对数)、log(常用对数)、round(四舍五入)、trunc(截断函数)和sgn(符号函数)等函数。这些函数非常有用,下面通过制作整数型参数和弥补计算器缺陷来说明。