深度学习理念下的几何定理教学设计与思考——以“边边角”为例

深度学习是一种基于理解的学习,它着眼于学习者高阶思维的发展。定理是几何中的重要板块,几何定理教学是学生形成演绎推理能力的重要途径。文章以“边边角”为例探讨深度学习理念下的几何定理教学设计。

用余弦定理解“边边角”条件下的三角形

初中的时候，就知道三角形全等判定中没有“边边角”定理．高中学习了正弦、余弦定理后，这种条件下的解三角形问题也随之出现，同学们可以通过“数量关系”对三角形进行新的认知．什么样条件下的三角形是两解、是一解、还是无解？这个问题始终让一些学生感觉到困惑．教材的课后阅读中以正弦定理为工具进行了讨论，本文以余弦定理为工具来探讨“边边角”条件下的解三角形问题．

用正弦定理研究满足“边边角”条件的两个三角形何时全等

本文对用“边边角”判定两个三角形全等的条件进行了探究,并获得了一般性的结论.

把握问题本质,提炼基本方法——以具有“边边角”相等结构特征的三角形问题的探究为例

大道至简,以简驭繁,是大智慧,更是高境界.中学数学解题教学也需要提高这样的实践智慧,追求这样的教育境界.在数学解题教学中,教师要善于引导学生把握问题本质,抓住解题关键,指导学生学会运用数学的眼光来发现和提出问题,数学的思维来分析和解决问题,数学的语言表述和阐释问题,促进学生在归纳概括解题思维过程和总结提炼解题基本方法的学习中,落实＂四基＂提高＂四能＂,发展数学核心素养.

关于“边边角”问题的探讨

研究了有边边角的两个三角形在一些特殊情形下能够全等的问题,并进一步讨论了在类似情形下三角形相似的问题.

形式各异 本质归一——对解斜三角形“边边角”问题的三种方法的统一理解

已知斜三角形"边边角"解该三角形是高中数学"解三角形"一章中常见的问题,教师在教、学生在学的过程中常会用到"图形法""正弦定理法""余弦定理法"三种方法判定解的个数或求具体解.文章通过计算分析,论证了上述三种方法在判定解的个数的过程中进行分类讨论时的分类标准、分类类型及最终结论上的一致性,并且给出了具体问题中合理选用哪种方法的策略.

边边角角有财源

近年来,山东省东平县强化“经营村庄”理念,引导村级从边边角角的闲散土地入手,通过市场化运营,将容易被忽视的资产、资源盘活用好,走出了一条开发利用“边角经济”的强村之路,增强了村级组织的服务功能。条状土地的产业化增收模式。鼓励村集体将生产路、耕地排灌渠、街道排水渠两侧的条状土地入股,通过“集体+企业(大户)+农户”“集体+企业(大户)”“集体+农户”等方式,合作发展苗木花卉等附加值较高的产业,实现闲散土地的有效利用,促进集体增收。接山镇后口头村与苗木花卉经营大户及普通农户签订合作协议,在村内街道两侧栽植黄金柳3000余株,三方按3:6:1的比例持股。苗木销售后,村集体与农户分别获益6万元、2万元。同时,村集体每年还能节省环境整治费用2万元。集体有了可用资金后,又在原来道路两侧,投资栽植垂柳3800棵,由农户进行日常管护,收益由农户与集体三七分成,村集体可年均增收7万元。这种模式比较适合无区位优势、无资源优势、无资金技术的“三无”村,全县115个村通过采用这种办法,年均增收3万余元,基本解决了村级组织运转问题。

“边边角”的烦恼

“边边角”是指两个三角形中有两边和其中一边的对角分别对应相等,在教学过程中,教师往往把“边边角”不一定全等偷换成了“边边角”一定不全等,这需要引起教师的注意.“边边角”的类型较多,教师要充分重视“边边角”问题,做到心中有数,并妥善处理“边边角”教学.

解“边边角”问题可用正弦定理也可用余弦定理

解三角形中困难的一类问题是“边边角”问题饵口已知三角形的两边与其中一边的对角解三角形），因为这类问题有两解、一解及无解的情形．

让智力生长 让智慧开花——以“边边角”问题探究为例

在苏科版八年级上册第一章"全等三角形"的教学过程中,许多学生会问,为什么没有"边边角"判定法?笔者虽然举出了反例,但仍然没有消除学生的疑问。我要给"边边角"一个机会,给学生一个探究的机会。本节课是在学生学习了全等三角形的性质及判定的基础上,对"边边角"问题做的进一步探究,旨在帮助学生更为理性地分析问题,发展学生的数学思维能力,为学生后续的学习积累经验。

对“边边角”的深入探究

八年级三角形全等的判定方法，课本中介绍了四种：边边边（SSS）公理、边角边（SAS）公理、角边角（ASA）公理和角角边（AAS）定理，对特殊的直角三角形在判定全等时，除了以上四种方法外，还有“斜边、直角边”（HL）定理．而众所周知，“SSA”是不能用来作为判定任意两个三角形全等的条件的，教材中也给出了反例（人教版八年级上册98页）．

“边边角”判定三角形全等的探究

我们知道，判定三角形全等的定理有五个，可简记为： “边边边”（SSS）：三边相等． “边角边”（SAS）：两边及夹角相等． “角边角”（ASA）：两角及所夹的边相等． “角角边”（AAS）：两角及一角的对边相等．

一对“边边角”三角形的探究

我们知道满足两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．

基于“边边角”构造全等三角形

“边边角”不能作为判定三角形全等的依据,如果在几何问题中遇到两个三角形的条件满足“边边角”但并不全等(简称符合“边边角”反例),那应该怎么处理呢?本文从一道简单的例题入手,分析构造全等三角形的方法,并以此为切入点由易到难探讨它在几何综合问题中的应用.1问题探究问题如图1,BC>BA,DA=DC,BD平分∠ABC.∠BAD和∠BCD之间存在什么关系?

解三角形中边边角问题的探究

在高中阶段,我们经常遇到边边角型的解三角形问题.在本文中,笔者通过几个例题一起来探究此类问题的解法.

用联系的观点看数学——也探“边边角”

老师常常对我们说:“世界上一切事物都是相互联系的.在数学学习中,我们要深刻体会数学知识之间的联系,把数学知识建成网状的知识结构.”经过两年多的数学学习,我们深切感受到数学的知识和方法是充满各种联系的整体性结构,这让我们的思维更加活跃,也让我们解决问题的方法更加灵活多样.

质疑《边边角问题的探索》

本刊2006年第4期“创新展台”栏目刊登了戴海勇老师的《边边角问题的探索》一文，引起广大读者关注，林梅菌、刘学宾、蒋柏孟、赵营君、谷显亮等老师来稿对“边边角定理”进行商榷探讨。现刊发其中一篇，在此感谢各位老师对本刊的支持与关注，欢迎大家对本刊提出更多的建议和批评。

追根溯源找错因 实验探究出真知——以“满足‘边边角’的两个三角形何时全等”数学活动为例

对于满足“边边角”的两个三角形何时全等的话题，一线教师都曾有过相应的探索，文献[1]和文献[2]对此做了较为详尽的分析和阐述，笔者读后很受启发，于是借助数学实验对此内容进行了相应的思考和大胆的尝试，引导学生自主探索，归纳总结，收到较好的效果。这里，笔者将这一活动过程展示出来，愿与大家一同分享。

“边边角”能证明三角形全等吗?

引导学生进一步理解满足“边边角”条件的两个三角形不一定全等。在探索满足“边边角”的两个三角形全等的特定条件的过程中，领悟转化、分类、特殊化等数学思想，学会用运动变化的观念看问题，通过观察、猜想、验证使学生的合情推理与演绎推理能力得到同步发展。

探根究底,还是“边边角”被误解

误解"边边角"的不仅仅是广大的学生,还有众多的数学教师。造成误解的主要原因是把教材中的不一定全等转换成了一定不全等。教学中列举"边边角"能全等的例子可以减少学生对它的误解。