求解Sobolev和Caffarelli不等式的达到函数

在偏微分方程解的存在性研究过程中,一些特殊不等式的使用具有重要作用.而这些特殊不等式的达到函数是否存在又具有重要意义.要想得到这些特殊不等式的达到函数的解析式是一件非常困难的事情.应用球对称原理及常微分方程求解的方法得到了Sobolev不等式和Caffarellie不等式的达到函数的一般解析式.

一类约束极小问题的几个结果

研究了与等周不等式有关的约束极小问题：Ｉｔ＝ｉｎｆＱ（ｕ＋ｔψ）＝１，ｕ∈Ｈ１０（Ω，Ｒ３）∫Ω｜ｕ｜２ｄｘｄｙ，其中，Ω为Ｒ２中的有界区域，Ｑ（ｖ）＝∫Ωｖ（ｖｘ∧ｖｙ）ｄｘｄｙ．证明了如下结论：１）对于ψ∈Ｈ１０（Ω，Ｒ３），若ψｘ∧ψｙ０，且ψ∈Ｃ１，１０（Ω，Ｒ３），则Ｉｔ→Ｓ（当ｔ→０时）；２）设ｕｔ是Ｉｔ的极小可达函数，则存在某一ｘ０∈Ω，使得｜ｕｔ｜２Ｓδｘ０（当ｔ→０时）（在测度意义下），这里Ｓ＝ｉｎｆ∫Ｒ２｜ｕ｜２ｄｘｄｙｕ∈Ｈ１０（Ｒ２，Ｒ３），Ｑ（ｕ）＝１｛｝

带有耦合Rellich项的临界双调和方程组解的存在性

研究了包含多重Rellich项和强耦合临界非线性项的两类临界双调和方程组,首先研究了相关最佳Sobolev常数的达到函数对;其次,在一定的假设条件,利用变分法的山路定理证明了非平凡解的存在性.本文中的双调和方程组是首次被研究,所得到的结果都是新的.

Sobolev空间H^m（R^n）中的最佳嵌入常数

本文得到了Ｓｏｂｏｌｅｖ空间Ｈｍ（Ｒｎ）及Ｗ（ｍ．ｑ）（Ｒｎ）中的最佳嵌入常数和达到函数的表达式，这个结果包括了文献［１］等关于空间Ｈｌ（Ｒｎ）的相应结果．

H_0~3(Ω)→L^(2n/n-6)(Ω)的最佳嵌入常数

给出了 S =inf{ ∫Rn D(Δu) 2 dx u∈H3 loc(Rn) ,∫Rn u 2nn- 6 dx =1}达到函数 ,并得到了H3 0 (Ω)L 2nn- 6 (Ω) 的最佳嵌入常数 .

与等周不等式有关的约束极小问题

研究了与等周不等式有关的约束极小问题：这里，Ω为Ｒ２中的有界区域，证明了如下结论：对于，只要，且，则上述极小可达．