圈的幂图的s-迹连通性

对于图G的任意两个顶点x和y,如果G有一条(x,y)-生成迹,则称图G是迹连通的。给定一个整数s≥0,对于任意点子集X?V(G)并且|X|≤s,如果G-X是迹连通的,则称图G是s-迹连通。设k是一个正整数,图G的k次幂图记为G~k。设t(G)是t一个最大值s使得图G是s-迹连通但不是(s+1)-迹连通,设C_n是一个包含n个点的圈,k是一个正整数并且k≥2,将证明:t(C_n~k)={2k-3,如果n=2k+22k-2,如果n≥2k+3 n-3,如果n≤2k+1.

α_(2-)独立数为2的有向图中的迹,路和圈

设α_(2-)(D)=max{|X|:X■V(D)且D[X]不含有向2-圈}是有向图D的α_(2-)(D)-独立数.在文献[Proc.London Math.Soc.,42(1981)231-251]中,Thomassen构造了满足κ(D)=α(D)的非哈密尔顿有向图D,以此证明Chvátal-Erdös定理在有向图情形下不能得到自然推广.Bang-Jensen和Thomassé提出如下猜想:每一个满足弧强连通度大于等于其独立数的有向图一定包含生成闭迹.对于满足弧强连通度大于等于其α_(2-)(D)-独立数的有向图是否包含生成迹这一问题,目前仍未解决.如果对于D中的任意两个顶点x和y,D包含生成(x,y)-迹,或者生成(y,x)-迹,则称有向图D是弱迹连通的.如果对于D中的任意两个顶点x和y,D既包含生成(x,y)-迹又包含生成(y,x)-迹,则称D是强迹连通的.本文在确定两个强连通有向图类M和H的基础上,研究了在满足α_(2-)(D)=2条件下,有向图D的相关结果,并得到以下结论:(ⅰ)D是哈密尔顿的当且仅当D■M.(ⅱ)D是弱迹连通的.(ⅲ)D是强迹连通的当且仅当D?H.特别地,每一个满足α_(2-)(D)=2的强连通有向图D包含哈密尔顿路,并且每一个满足α_(2-)(D)=2的2-强连通有向图D是强迹连通的.