有理函数作部分分式分解的一种巧妙方法

有理函数的不定积分在数学分析中具有重要地位,对有理函数求不定积分的常用方法是先对有理函数进行分解,然后分别对每个因式求不定积分。对有理函数进行分解的常用方法是待定系数法,过程通常比较复杂。这里运用极限的思想,分别对三种情形给出有理函数作部分分式分解的一种巧妙方法,该方法简化了有理函数作部分分式分解的计算。最后,给出了该方法的一个具体应用。

调和数与部分分式分解

为了扩展部分分式分解的使用功能,在经典的极限法的基础上,引入广义调和数,应用洛必达法则给出降阶乘倒数的平方的部分分解的表达式,并将该方法应用到高次幂的形式.

带有重因子分段的部分分式积分法

文[1]中对单因式分母的部分分式积分法作了改进并建立了积分公式,但当分母带有重因式因子时仍须用奥斯脱拉格拉斯基公式确定系数从而转化为文[1]中的单因式情况,因此还是比较麻烦,本文继续利用插值公式得到复数域上部分分式的分解公式及积分公式,顺便也得到了Hermite插值公式的一个简便形式),特别当分母无虚重根时(即无实数域上不可约二次式的重因式)它就是实数域上的积分公式,当分母有虚重根时则对积分结果(或部分分式分解的结果)须稍加演化才能转化为实数域上的积分结果,我们先在复数域上讨论:

含有调和数的无穷级数恒等式

利用Abel分部求和引理证明了一些关于调和数的无穷级数恒等式,其中几个新的有趣的求和公式主要是以π2、ln2和卡塔兰常数作为结果建立的.

在半平面等分角上正割与余割函数幂的乘积和

研究含有一个自由参数在半平面等分角上的正割与余割函数幂的乘积求和问题.使用双变量发生函数的方法和部分分式分解技巧,按照半平面等分次数的奇偶性分别计算有限和与交错和,给出了4种情况下的显式求和公式,也列出了一些低次幂乘积和的简洁结果.

q-调和数的求和公式

针对q-调和数求和的问题,部分分式分解法是一个很好的方法.使用部分分式分解法得到两个组合等式.然后使用这些组合等式得到了q-调和数的求和公式.应用这些结果给出了一些常用的关于q-调和数的求和公式.