重根循环码的周期分布和广义周期分布

近几年来，重根循环码再度引起了人们的重视［４，５］．本文在文［１］的基础上，分析了重根循环码的周期分布和广义周期分布，给出了通用的计算方法和计算公式，并确定了某些重根循环码的周期分布和广义周期分布．

重根循环码的进一步研究

给出了在有限域F_q上长度为N=p^s n的q-元重根循环码的生成多项式;证明了有限域F_q上长度为N=p^s n的q-元重根循环码等价于F_q上p^s个单根循环码的组合.

重根循环码

在循环码理论中,通常要求码字的长度n与有限域Fq的特征p互素,即(n,p)=1,这样才能保证循环码的生成多项式g(x)没有重根。使用离散傅里叶变换(DFT),得到长度为N=psn的q—元重根循环码的谱表示和重根循环码的结构,这对重根循环码的构造及译码有重要作用。

重根循环码与周期序列之间的关系及结果的相互有效性

现如今关于循环码的几乎所有结论都是在假设gcd(n,p)=1的前提下得到的,其中p为GF(q)的特征。这也就是说g(x)没有重复的不可约因子,即g(x)没有重根。这样的循环码我们称为单根循环码,显然单根循环码具有一定的局限性。我们有必要来研究当循环码的生成多项式g(x)至少有一个不可约因子具有重根的情况,此时gcd(n,p)=p>1,这类循环码我们称为重根循环码。一般周期序列在流密码中有着非常好的应用,关于周期序列的结论也比较成熟,重根循环码和周期序列有着非常紧密的联系,本文的工作就是要来研究重根循环码与一般周期序列之间的关系。

几类最优重根循环码的构造

本文分析了重根循环码的纠错能力.利用循环码的代数结构,构造了几类最优的循环码.构造了一类距离最优的二元重根循环码,并由此派生出一类距离和维数都是最优的二元重根循环码;构造了一类距离和维数都是最优的非二元重根循环码;构造了两类距离最优的非二元循环码.

利用周期序列来表示重根循环码

单根循环码具有一定的局限性，因此有必要来研究当循环码生成多项式g（x）至少有一个不可约因子具有重根的情况，此时gcd（n，p）=p〉1，这类循环码称为重根循环码。一般周期序列在流密码中有着非常好的应用，关于周期序列的结论也比较成熟，重根循环码和周期序列有着非常紧密的联系，本文就是要论证可以用周期序列来表示重根循环码，这对重根循环码的研究具有一定意义。

环Fq＋uFq＋…＋u^k-1Fq上一类重根常循环码

记R=F_q+uF_q+…+u^(k-1)F_q,G=R[x]/<x^t-α>,且λ是R中可逆元。定义了从G^n到R^tn的新的Gray映射φ,证明了J是G上长为n的线性的x-常循环码当且仅当φ(J)是R上长为tn的线性的α-常循环码。使用有限环理论,获得了环R上长为p^e的所有的(uλ-1)-常循环码的结构及其码字个数。特别地,获得了环F2m+uF上长为2~e的(uλ-1)-常循环码的对偶码的结构及其码字个数。推广了环2aZ上重根负循环码的若干结果。

有限域上码长为7p^(s)的重根循环码

线性码是一类非常重要的纠错码,线性码的最小汉明距离决定了其检错纠错能力,然而如何确定线性码的最小汉明距离至今仍是一难题.循环码是线性码的一个重要子类,已有广泛的应用.文章研究了有限域F_(q)上码长为7p^(s)的重根循环码的最小汉明距离,其中q=p^(m),p≥11为素数,m,s为正整数.先确定了有限域F_(q)上所有码长为7的单根循环码的最小汉明距离,进而确定了码长为7p^(s)的重根循环码的最小汉明距离,并得到了一些达到Griesmer界的最优重根循环码,最后利用码长为7p^(s)的对偶包含重根循环码构造了量子同步码.

环Z_(pα)上的重根负循环码

证明了对任意的整数k满足1≤k≤m(α,pβ),存在一个负循环码C≤Zpα[x]/〈xn+1〉(n=pβl且p不整除l)可由k个多项式生成但不能由k-1个多项式生成.

有限链环上长为lp^s的重根常循环码

给出了当λ∈F*pm和λ=c0+γc1+…+γe-1ce-1时有限链环上长为lps的重根λ-常循环码的结构.

F_2^a上长为2^s的循环码的距离分布与重量分布

利用有限链环的特点,研究了F2a上长为2s的重根循环码的结构和性质,给出了它们的距离分布;并讨论了一类特殊重根循环码〈(x+1)2m〉及其对偶码的重量分布.

关于环F_(p^m)+uF_(p^m)+ u^2F_(p^m)上循环码的注记（英文）

本文研究了环F_(p^m)+uF_(p^m)+ u^2F_(p^m)上长度为p^s的循环码分类.通过建立环F_(p^m)+uF_(p^m)+ u^2F_(p^m)到环F_(p^m)+uF_(p^m)的同态,给出了环F_(p^m)+uF_(p^m)+ u^2F_(p^m)上长度为p^s的循环码的新分类方法.应用这种方法,得到了环F_(p^m)+uF_(p^m)+ u^2F_(p^m)长度为p^s的循环码的码词数.

环IF_pm[u]/〈u^a〉上一类常循环码

本文研究有限链环上一类λ-常循环码.利用x^n-1在R_a[x]上可唯一分解为两两互素的首一基本不可约多项式乘积,刻画了R_a中长为p^sn的所有λ-常循环码,推广了开晓山等人在文献[4]中的结果.

环F_2+uF_2+vF_2+uvF_2上长度为2~s的常循环码（英文）

本文研究了环R=F_2+uF_2+vF_2+uvF_2上长度为2~s的常循环码的分类和结构,这个环是一个局部环,但不是链环.首先,借助有限交换局部环中多项式的欧几里德算法,得到了长为2~s的循环码与(1+uv)-常循环码分类,且给出了每一类的结构.其次,利用(x-1)^(2^s)=u,得到了长为2~s的(1+u)-常循环码分类和每一类的结构.最后,利用类似于长为2~s的(1+u)-常循环码的讨论方法,给出了(1+v),(1+u+uv),(1+v+uv),(1+u+v),(1+u+v+uv)-常循环码分类和每一类的结构.

环F_(p^m)+uF_(p^m)+vF_(p^m)+uvF_(p^m)上的一类重根常循环码

对环F_pm+uF_pm+uF_pm+uvF_pm上长为P^e的所有(a+uβ)-循环码进行了分类,其中产~2=0,v^2=0,uv=vu,α,β∈F_p~*m.对于给定的α,β,e,我们得到了该环上长为P^e的所有(α+uβ)-循环码的计数公式.最后定义了这些常循环码的扭码和剩余码,并利用扭码获得了该环上长为P^e的(α+uβ)-循环码的Hamming距离分布.

环Z_4+uZ_4上一类重根常循环码

设R=Z_4+uZ_4,R_n=R[x]/(x^n-(2u-1)),其中u^2=0,n=2~e.通过对环R上码长为n的(2u-1)-常循环码结构的研究,得到这些码的生成元,并对环R上码长为n的所有(2u-1)-常循环码进行分类,而且研究了该环上(2u-1)-常循环码的Hamming距离分布.最后给出环R上码长为n的(2u-1)-常循环码的对偶码的结构以及环R上码长为n的自正交与自对偶的(2u-1)-常循环码.

一类新的MDS symbol-pair码

为了对抗符号对(symbol-pair)读取信道中的符号对错误,符号对码应运而生。与经典纠错码类似,极小对距离越大,符号对码的纠错能力越强,因此,构造具有较大极小符号对距离的符号对码至关重要。根据多项式重根的判别方法,通过分析有限域F p上线性方程组的解,得到了一类最大距离可分的符号对(MDS symbol-pair)码,其长度为4 p,极小符号对距离为10。结果表明,在同样码长的情况下,新构造的MDS符号对码具有较大的极小符号对距离。

有限链环R=F_p[u]/上长为p^sn对偶码结构

为促进有限链环上循环码的编、译码在工程上的应用,研究了有限链环R=F p[u]/<uk>上长为psn重根循环码的对偶码的结构,利用有限链环R中的MS多项式,给出了扩环中的埃尔米特内积与环R中离散傅里叶变换系数之间的关系,并证明了码C的对偶码为C的零化子在共轭映射下的像,最终获得了环R上长为psn对偶码的结构.从而为有限链环R=F p[u]/<uk>上的编码和译码应用研究提供了理论依据,同时也为利用纠错码构造在实际应用中可行的具有抗量子特性的轻密码算法奠定了基础.

一类纠缠辅助量子纠错码的构造

利用重根循环码构造了纠缠辅助量子纠错码。首先确定了有限域GF(p)上长度为2 p^(s)的循环码与其对偶码交的维数,然后确定了GF(p)上长度为2 p^(s)的循环码的最小距离,最后利用CSS构造方法,由这类重根循环码构造了几类纠缠辅助量子纠错码。

一类AMDS符号对码的构造

在高密度存储技术中,由于磁头读写不一致常会造成符号对错误.符号对码是一种能纠正符号对错误的有效编码方案,构造参数良好的符号对码是目前编码理论研究的主要问题之一.本文利用有限域F_(p)上长为6p的重根循环码构造了一类极小对距离为7的几乎最大距离可分(AMDS)码.