P(n,k)的一个降部恒等式

P(n,k)表正整数 n 分为 k 个分部的无序分拆的个数,每个分部≥1.它首先由数学家欧拉 (Euler) 提出.它已成为组合、图论及数论里的重要数据之一,应用广泛.目前,尚无 P(n,k)(k≥4)的简单统一便于计算的公式.本文得到 P(n,k)的一个能降低分部数的递推恒等式,并证明它可表为有限个2部分拆之和.这个恒等式有理论上和递推计算上的用途.并举例介绍了它的初步应用.

P(n,k)的计数及其良域

设Ｐ（ｎ，ｋ）为整数ｎ分ｋ部的无序分拆的个数，每个分部≥１；Ｐ（ｎ）为ｎ的全分拆的个数．Ｐ（ｎ，ｋ）是用途广泛的、且又十分难予计算的数．本文证明了下述定理：当ｎ＜ｋ，Ｐ（ｎ，ｋ）＝０；当ｋ≤ｎ≤２ｋ，Ｐ（ｎ－ｋ）；当 ｋ＝１，４≤ｎ≤５，或者当ｋ≥２，２ｋ＋１≤ｎ≤３ｋ＋２，Ｐ（ｎ，ｋ）－Ｐ（ｔ）。还定义了Ｐ（ｎ，ｋ）的良域，因而可借助若干个Ｐ（ｎ）的值，迅速地计算大量的Ｐ（ｎ，ｋ）的值。