随机局部凸模上■~0-值的、真的、下半连续的、L^0-凸函数的次微分

本文研究了随机凸分析中的次微分问题.通过对随机局部凸模层次结构加以分析并结合最近随机度量理论取得的成果即随机局部凸模上的分离定理,证明了:定义在随机局部凸模上■0-值的真的、下半连续的、L0-凸函数f的所有次可微的点所组成的集合在(ε,λ)-拓扑和局部L0-凸拓扑下都稠于dom(f).这推广了经典凸分析中的相应结果.

随机局部凸模中的Krein-Milman定理及其应用

本文首先深入研究随机局部凸模中的稳定紧集,证明它关于(ε,λ)-拓扑Tε,λ是完备的,并给出它的一个简明的特征,即一个σ-稳定集是稳定紧的当且仅当它的每个具有有限交性质的由σ-稳定的Tε,λ-闭子集组成的σ-稳定族必有非空交.在此基础上,对定义在稳定紧集上的σ-稳定的、真的、下半连续的L^(0)-值函数给出相应的Weierstrass定理,并由此证明一个稳定紧的L^(0)-凸集必为L^(0)-凸紧的.然后,对L^(0)-凸集引进L^(0)-端点的概念并对L^(0)-凸紧集证明相应的Krein-Milman定理,同时给出这个推广的Krein-Milman定理与经典的Krein-Milman定理的某些有趣的比较与联系.最后,作为应用,证明定义在L^(0)-凸紧集上的真下半连续L^(0)-拟凸函数f必达到最小值.进一步地,如果f还是L^(0)-仿射的,那么f的最小值也可以在L^(0)-端点达到.

随机凸分析(Ⅰ):随机局部凸模中的分离性以及Fenchel-Moreau对偶性

为了给出条件风险度量模途径一个牢固的分析基础,本文的目标是在同时考虑(ε,λ)-拓扑和局部L^0-凸拓扑的条件下,在随机局部凸模上建立完整的随机凸分析.本文致力于研究随机局部凸模中的分离性以及Fenchel-Moreau对偶性.主要结果是给出在这两种拓扑下随机局部凸模的两类随机共轭空间的精确关系,这保证了不但可以彻底解决单点集和一个闭L^0-凸集的分离定理,而且可以在随机局部凸模上建立完整的Fenchel-Moreau对偶表示定理.

随机凸分析(Ⅱ):L^0-准桶的随机局部凸模中的连续性和次可微性定理

本文继续研究随机凸分析.首先,引入L0-准桶模的概念;接着,在赋予局部L0-凸拓扑的随机局部凸模的框架下,为了建立随机局部凸模为L0-准桶模的特征,本文发展了随机对偶理论,尤其是证明用于条件风险度量的模途径中的模型空间LpF(E)是L0-准桶的,这形成本文最困难的部分.最后,本文证明L0-准桶的随机局部凸模上的真下半连续L0-凸函数的连续性和次可微性定理.因此,本文的主要结果可以很好地适用于L0-凸条件风险度量的连续性和次可微性的研究.

随机局部凸模上■~0-值函数次微分和近似次微分性质

研究了随机凸分析中的次微分与近似次微分问题。在层次结构分析以及最近建立的随机局部凸模上的分离定理基础上,本文得到了关于随机局部凸模上L0值函数的次微分和近似次微分的一些良好基本性质。首先由随机局部凸模上点与集合的分离定理,证明了:对于具有可数连结性质的随机局部凸模上真的、Tc-下半连续的、L0(F)-凸函数,它的近似次微分非空;再者,由随机局部凸模上两个集合的分离定理,证明了对于具有可数连结性质的随机局部凸模上两个真的、Tc-下半连续的、L0(F)-凸函数,及其次微分公式。其中,L0(F)表示定义在概率空间上的广义实值随机变量等价类全体形成的集合。本文推广了经典凸分析中的相应结果。

关于随机对偶性的一个注记

对任意随机局部凸模(S,{X^d}_(d∈D)),本文证明了{X^d}_(d∈D)可表示成关于自然的随机对偶对〈S,S~*〉的一个随机可允许结构.

L^0-线性函数的Hahn-Banach扩张定理的几何形式与随机赋范模中的Goldstine-Weston定理

本文给出了关于L0-线性函数的Hahn-Banach扩张定理的几何形式并证明这个几何形式等价于它的代数形式.进一步,我们利用这个几何形式给出了随机局部凸模中熟知的基本分离定理的一个新的且简单的证明.最后,利用这个分离定理,我们同时在两种拓扑—(ε,λ)-拓扑和局部L0-凸拓扑下证明了随机赋范模中的Goldstine-Weston稠密性定理,并举出一个反例说明在局部L0-凸拓扑下如果随机赋范模不具有可数连接性质,则Goldstine-Weston稠密性定理不一定成立.