对新模糊集合论基础的一些注记

近来,一些学者指出Zadeh模糊集合论存在缺点和错误,建立了新模糊集合论.针对新模糊集合论提出了自己的见解.首先,在分析C-模糊集合论的定义时,发现该定义中存在两个不足之处.正是由于这两个不足之处,模糊集合之间的运算就会受到质疑而无法进行.最后,辨证地分析了Zadeh模糊集合论存在的缺点和错误.

针对教学场景的ZFC集合论Coq形式化

离散数学是计算机类专业的基础课程之一,命题逻辑、一阶逻辑与公理集合论是其重要组成部分.教学实践表明,初学者准确理解语法、语义、推理系统等抽象概念是有一定难度的.近年来,已有一些学者开始在教学中引入交互式定理证明工具,以帮助学生构造形式化证明,更透彻地理解逻辑系统.然而,现有的定理证明器有较高上手门槛,直接使用会增加学生的学习负担.鉴于此,在Coq中开发了针对教学场景的ZFC公理集合论证明器.首先,形式化了一阶逻辑推理系统和ZFC公理集合论;之后,开发了数条自动化推理规则证明策略.学生可以在与教科书风格相同的简洁证明环境中使用自动化证明策略完成定理的形式化证明.该工具被用在了大一新生离散数学课程的教学中,没有定理证明经验的学生使用该工具可以快速完成数学归纳法和皮亚诺算术系统等定理的形式化证明,验证了该工具的实际效果.

集合论中的类克莱瑟-列维定理

克莱瑟与列维(1968)曾作过一个著名的表征皮亚诺算术反射原则(RFN(PA))的定理。该定理将RFN(PA)与超限归纳原则TI(ε_(0))联系起来;后者即是超限归纳至序数ε_(0)——最小的取ω幂定点。在这篇文章中我们将此结果推广至一大部分的集合论。我们所要讨论的集合论如下所述:它们包含克里普克普拉特克集合论(KP);追加的公理必须被限制在一定的句法复杂度内,即存在一个固定的n使得它们皆为Π_(n)。比如说如果取任意n,句法复杂度■_(1),■_(2)Π_(n),KP+幂集+■_(1)分离+■_(2)收集就是一个典型的例子。现在假设T是在我们的考虑范围之内的一种集合论。我们对于T+RFN(T)的表征会以超限归纳原则TI(ε_(Ω+1))给出,其中Ω所表示的是所有序数的类,ε_(Ω+1)则是最小的取Ω幂定点。ε_(Ω+1)并非集合序数;其定义类似于证明论中ε_(0)的表示系统,不同之处仅在于ω被序数之类所替换。在T中从RFN(T)推导TI(ε_(Ω+1))的证明相当常规;其本质是根岑已证过的内容。逆命题则是更难的部分。对PA的这个方向,克莱瑟与列维使用了忒特(1965)证明算术“无反例”(nocounterexample)定理。后来克莱瑟想到使用切消法(cut elmination),而施维希滕伯格(1977)在中将其实现出来,在技术上,告诉我们无限证明的切消可以用原始递归函数实现。这些原始递归函数取值于无限证明树的某种代码(该种无限证明允许“延迟”推理,即使用ωrule使得前提与结论一致;施维希滕伯格称之为ωrule的非常规应用)。如何严谨而详细地定义及操作这些代码,可称是一个挑战。在这篇文章中我们将借用构造主义策梅洛弗兰克尔集合论(CZF)中归纳定义类的技术,从而回避先前所提到的那种代码。因此——类比布赫霍兹(1977)——本文的技术要素处于集合论语境之中,其本身也是有启发意义的。通常而言,我们对T中KP以外公理所加的复杂度限制是必要的。比如说,我们的表征不能应用于T=ZF;事实上ZF已经证明TI(ε_(Ω+1))。我们自然会联想到其它序数表示系统,比如费法曼和舒特曾使用Γ_(0)来表征理论自主扩充的强度。如果考虑超限归纳至类似Γ_(0)的序数表示系统类(即Γ_(Ω+1)),怎样的反射原则对应于这种超限归纳原则,将是一个有趣的命题。

集合论思想的演变及在当代中国的发展

集合论思想的演变及在当代中国的发展姜玉声，朱焕志集合论自上世纪７０年代由德国数学家Ｇ．Ｃａｎ－ｔｏｒ创立以来，不断促进着许多数学分科的发展，并成为全部现代数学的基础。然而，近３０年来又相继出现了Ｆｕｚｚｙ集合论与可拓集合论。为说明这两种集合论的产生在...

论集合论的模型

本文讨论了ZF的经典模型和非经典模型,梳理了它们的最新动态,并且将ZF的广义代数值模型推广到基于形式不一致逻辑的弗协调集合论。该推广过程的关键在于解决两个问题:第一,这类弗协调集合论是否包含不是一致的集合;第二,在模型中如何处理相等关系=,以便它能够满足莱布尼兹公理。此外,本文构造的广义代数值模型具有一定的可推广性。

系统论与集合论

集合论的观点和方法渗透在现代数学的各个分支以及科学技术的许多领域之中,也是目前对系统进行数学描述的主要工具。但是系统论与集合论的研究对象和方式存在着实质性的差异,认识这点对于认识系统的特点和推进系统科学的发展具有重大意义。

集合论的创立与发展

康托尔集合论是德国数学家G．Cantor在19世纪70年代创立的，它是数学中最富创造性的伟大成果之一，目前其基本概念已渗透到数学的所有领域，且不断促进着许多数学分科的发展，是整个现代数学的基础．20世纪集合论得到迅速发展和创新，相继出现Fuzzy集合论与可拓集合论，以解决实际中出现的新问题．

基于集合论估计的电网状态辨识 (四)离群点识别

首先从相容性的角度,对离群点的性质进行分析,提出不相容离群点和相容离群点的概念,并指出可能的离群点集合应包含不相容离群点和相容离群点两类离群点。进一步,提出状态辨识中离群点识别的两步法,即先识别出所有可能的不相容离群点集合,而后对可能的相容离群点进行筛分。对于不相容离群点,结合电力系统多层多级的网架结构,提出分层分级的不相容离群点搜索算法,使得搜索过程局部化,从而减小搜索空间,提高搜索效率。对于相容离群点,提出基于灵敏度的识别方法,可有效识别对解集影响最大的相容离群点,避免搜索起作用测点带来的组合爆炸问题。

基于集合论估计的电网状态辨识(一)建模

状态估计作为电力系统分析与控制的基础,是能量管理系统的重要组成部分。文中通过对已有状态估计方法(包括最小二乘法、经典抗差估计方法以及近年来涌现的新的估计方法)的特点的研究,分析了现有研究存在的主要问题,并指出引入集合论估计可有效解决该问题,以提升估计结果可信性。基于集合论估计的基本思想,研究了基于集合论估计理论的电网状态辨识的模型。该模型可明确系统真实状态和辨识结果的关系,理论上保证了结果的可信性。文中对模型中的属性集合进行了数学描述,并提出了基于区间的解集描述,保证了模型的可求解性和可应用性。

基于集合论的电网信息物理系统模型构建方法

在分析电网信息物理系统(GCPS)逻辑结构的基础上,提出一种基于集合论的GCPS交互建模方法。通过剖析电力能量流与信息流的耦合方式,将GCPS定义为物理对象集合与信息对象集合之间的关系。分解GCPS为电源子系统和负荷子系统,从输入、输出和状态三方面描述其行为水平与状态结构水平,并建立子系统的网络结构图。在当前电网拓扑结构的约束下,采用"纵向金字塔汇集、横向逻辑互联"的组网规则,实现GCPS子系统的逐级耦合与互联,构建完整的GCPS架构。对典型测试系统的案例分析说明了GCPS模型的有效性和应用价值。

广义模糊集合论及其在图象处理中的新应用

作者的早期研究成果广义模糊集合论在本文中得到进一步的完善，相对完整系统地探讨了广义模糊集合的性质，并给出了一些新的定义和运算公式。此外还将其运用到图象处理的某些领域如数字减影和目标识别，实验结果证实了它的优越性。

基于集对分析和模糊集合论的水体营养化评价模型的应用研究

尝试在水环境评价领域引入并应用集对分析和模糊集合论,结合水体营养化等水环境评价中模式识别、等级评价问题的实际应用,将相关的概念和理论进行拓广,定义了广义联系熵和广义相对隶属度。分别建立了基于集对分析的水体营养化评价一级模型和基于集对分析-模糊集合论的水体营养化评价二级模型。我国12个有代表性的湖库营养化程度评价的应用实例表明:所建模型的评价结果与调查结果相符,与单一模糊模式识别结果基本相符;二级模型与一级模型和单一模糊模式相比,评价结果相对全面,更符合用水障碍调查结果的实际情况;而且从广义联系熵判断,二级模型的广义联系熵较一级模型和单一模糊模式大一些,即更好地反映了待评价水样与评价标准两个集合的确定不确定关系和联系程度,从而在一定程度上验证了所建模型的有效性和简便性。文中所用理论方法和所建模型也可推广应用于其他领域。

基于模糊集合论的故障树分析

运用模糊集合理论 ,从模糊可靠性和模糊可靠度是基于某一模糊功能子集的基本定义出发 ,导出了各种模糊逻辑模型的可靠度计算公式 ;利用最小割集的概念及其逻辑关系 ,探讨了模糊故障树分析的方法和步骤 ,最后给出了算例。

利用模糊集合论对大学生普物实验进行综合评判

利用模糊数学对大学普通物理实验进行综合评判 。

基于模糊集合论的Agent联盟生成

多Agent系统中联盟的生成是关键问题,主要研究如何在多Agent系统中构造面向任务的最优Agent联盟。对联盟生成问题作了新的描述,讨论了现有联盟生成方法的特点及不足,提出了一种基于模糊集合论的联盟生成方法。基于模糊集合论的隶属度概念,计算Agent对任务的隶属程度,并依据λ-截矩阵理论生成面向任务的Agent联盟,从而使任务由能力最适合的Agent组成的联盟来求解。实例分析说明了此方法的有效性。

一种基于模糊集合论的手势分割算法

提出了一种基于单目的复杂环境下强抗干扰性的手势分割算法,使用模糊集合的概念来描述视频流时域和空域上的不同信息,以模糊运算作为信息加工处理的工具。定义了三个模糊集合非背景集、肤色集和模糊手势集,讨论了对模糊集合的腐蚀和膨胀运算。通过对非背景集和肤色集进行模糊运算,得到原始的模糊手势集,然后对原始的模糊手势集进行求精处理。试验结果证明,该文算法实现了对人手的精确分割,且能满足实时性要求。

用数学集合论方法求证中医经络

目的:用数学集合论方法论述中医经络。方法:用数学集合论方法进行论述,从中西医角度把一个特指有生命力的人分别看作一个集合,按照集合论的定律推导、求证出其交集。结果:经络应该是一个有形的物质结构。结论:经络主要是由神经、脉管、体液等构成的复合体,其功能除了现有的生理病理功能认识外,有一部分超出了现阶段对神经、脉管、体液功能的认识范畴。

模糊集合论在湿度传感器互换性分析中的应用

本文针对湿度传感器生产中对湿敏元件互换性的要求,利用模糊集合论中的模糊聚类方法,提出了一种将传感器根据灵敏度特性曲线进行分档归类,以寻求在各档次内局部互换性的设想,并在此基础上形成了一套完整的算法.该算法具有概念清晰、计算简单、实用性强的特点,对于各种传感器中试阶段的数据分析处理,均有一定的实用意义.

测井解释编程的集合论应用

应用近代数学集合论观点，自制开发了常规测并解释软件──ＳＹＳＷＥＬＬ。该软件主要用于渗透性地层，可给出孔、渗、饱和可动流体等参数；对渗透层的划分包含距离判据和泥岩指数两种分昙方法，并且给出实际应用例子。

中介逻辑与中介公理集合论的综述

以中介逻辑演算系统和中介公理集合论为主要内容的中介数学系统是一种在数学基础意义上将精确性量性对象扩展到模糊量性对象的系统,它对数学的逻辑基础和集合论研究产生了重要影响。文中主要从下面3个方面论述:中介数学系统的研究背景;中介数学系统的基本内容及其与经典数学系统的关系,其中简要介绍了中介概念、中介原则、中介逻辑演算系统、中介公理集合论和中介数学系统的研究现状;有关中介逻辑的学术争论,特别围绕中介逻辑是不是一个新逻辑引用了正反双方的意见。此外,还展望了中介数学系统的应用前景。