波莱尔零测集理论思想研究

以法国数学家波莱尔的有关工作为核心,重点考察了他提出零测集的思想背景,提出零测集渐近测度和稀疏度的思想演变过程、思想方法及影响。指出波莱尔在前人工作的基础上于1894年研究函数单演理论时已经有了零测集的思想,在1898年正式提出了零测集的概念,并在此基础上给出了集合测度的概念。正是在函数单演理论研究中,他认识到了零测集的重要性,开始了零测集的分类和性质研究,并在1919年提出了零测集的渐近测度的概念。波莱尔在1935年对渐近测度的概念做适当修改,提出了零测集稀疏度的概念。他为了研究零测集向量和的问题,在1948年给出了3种重要的稀疏度的定义和计算方法。这一工作对弗雷歇、马沙哈尔等人有一定影响。

二重积分及其应用

本文首先定义了矩形区域上的二重积分,并使用平行于x轴和y轴的直线网将矩形区域划分。对于相关性质,给出了详细、完整的证明,证明了在矩形区域上定义的有界函数可积的充要条件是该函数在矩形区域上的不连续点集是零测集。假设函数在矩形区域上黎曼可积,成功地解决了固定变量x后,作为y的函数在相应闭区间上的黎曼积分未必存在的问题。其次,建立了有界函数在有界集上的积分,并将有界集上的积分转化为矩形区域上的积分。再次,介绍了二重积分的应用,证明了在开集上定义的二元函数的2个混合偏导数如果连续,则必然相等。最后,还使用二重积分证明了级数求和公式^(∞)∑=11/^(2)=π^(2)/6。

黎曼可积的测度论观点

本文以测度论的观点叙述了黎曼积分的可积条件,并利用他们解决了一些在数学分析中不易解决的问题.

建立完备测度空间的4种方法及其等价性

对给定测度空间 (Ω ,F,μ) ,给出了 4种建立完备测度空间的方法 :设 μ 是由 μ引出的外测度 ,令 F 为 μ 可测集全体 ,得到 (Ω ,F ,μ ) ;N 是 μ -零测集全体 ,令 F= {A∪N :A∈ F,N∈ N} ,定义 μ(A∪N) =μ(A) ,得到(Ω ,F,μ) ;令 FΔ ={AΔN :A∈ F,N∈ N} ,定义 μΔ(AΔN)=μ(A) ,得到 (Ω ,FΔ,μΔ) ;令 F ={A : A1、A2 ∈ F,使A1 A A2 且 μ(A1) =μ(A2 ) } ,定义 μ(A) =μ(A1) ,得到(Ω ,F,μ) .并证明了它们之间的等价性 。

简证Lebesgue微分定理

给出了Ｌｅｂｅｓｇｕｅ微分定理的一种简单直观的证明方法。

可导性缺失情况下函数单调性的研究

利用确界的思想进一步研究了连续函数单调性的判别问题,通过构造适当的零测集,得到了在函数的可导性适当缺失的情况下函数单调性的判别条件,进而推广了已有的理论方法.

关于(X，R，μ)到(X，R′，μ′)扩张的若干注记

给出由测度增补的方法从X上σ—环R上的测度μ扩张到(X′,R′,μ′)的完整证明.并指出当R是上的环时.这种扩张是不可能的.

强Henstock积分的原函数

给出了Banach-值函数强Henstock积分原函数的完全刻画定理。

妥协、均衡与制度演进

本文通过对测度概念的刻画,分析了它在经济学和法律学等领域所蕴涵的深刻道理。文章的研究表明,仅仅依赖和满足于确定性,因循守旧将会导致社会的停滞不前;仅仅奢望和行动于不确定性,激情式的革命行动又将导致社会的分离与解体。惟有在确定与不确定、现实与理想相互妥协的制度均衡下,和谐的生活秩序和持续的社会进步才有存在和生发的前提与可能。在当前的转轨变革时期,社会应容忍并保持制度安排的多样性,以寻求各种利益配置之间的妥协和平衡。

关于Riemann可积理论的教学探讨

考虑到一般教材所给Darboux上和与下和定理并没有直观解释函数满足什么条件时Riemann可积,因而在先介绍零测集等概念的基础上,随后介绍Lebesgue定理,并由此来刻画可积函数,以求使学生对Riemann积分有更透彻的理解.

R^N中的最小α-分割

Ω是RN 中有界开区域 ,(E1 ,E2 ,E3)是Ω中的最小的α 分割。如果E1 ,E2 ,E3 都是非零测集 ,则E1 ,E3

一类一阶微分方程初等解法的分析研究

对一阶微分方程变量分离方程dy/dx=f(x)φ(y)(其中f(x),φ(y)分别是x,y的连续函数)和非齐次线性微分方程dy/dx=p(x)y+Q(x)(其中p(x),Q(y)是x的连续函数)的其初等解法进行了分析研究,结合Lebesgue积分与Riemann积分的相关知识,给出了f(x),φ(y),p(x),Q(x)的不连续点集是零测集时的初等解法。

适用于一切黎曼可积函数的微积分学基本定理

以下是微积分学基本定理的常见形式:定理1.设f在[a,b]上黎曼(Riemann)可积且设g是[a,b]上使g’(x)=f(x)的函数,则integral from n=a to b( f(x)dx=g(b)-g(a))

超四类可积函数

结合实变函数理论,对数学分析中有界函数的Riemann可积性问题进行研究,在有关文献所提出的第四类可积函数的基础上,引入超四类可积函数,并以实例说明超四类可积函数是存在的.

关于R—积分的极限定理

数学分析中一个普通而有趣味的问题:R—可积函数列的极限函数仍是 R—可积的主要条件是什么?似尚未见其答案;在我系分析讨论班里面,杨连鸿同志曾试图解决此问题,本文在他的基础上引入 J—度量收敛的概念,获得了主要条件。定义:设实函数列 f_n(x)及 f(x)定义于 I=[a、b]。

关于weierstrass逼近定理的几点注记

Weierstrass逼近定理是函数逼近论中的重要定理之一,定理阐述了闭区间上的连续函数可以用一多项式去逼近.将该定理进行推广:即使一个函数是几乎处处连续的,也不一定具有与连续函数相类似的逼近性质,但是一个处处不连续的函数却有可能具有这样的性质.证明了定义在闭区间上且与连续函数几乎处处相等的函数具有类似的逼近性质,并给出了weierstrass逼近定理的一个推广应用.