基于APOS理论的零点存在性定理教学要点

一、APOS理论要义APOS理论是由美国的杜宾斯基等人在数学教育与研究实践中发展形成的.该理论依据学生学习的心理建构过程,提倡教师在教学中,应以学生为主体,让学生主动探究、理解和掌握知识.其教学流程如图所示:“操作”阶段(Action),学生需要通过操作来感知事物,理解所学内容的意义.通过操作,学生对何为函数零点和零点存在的条件会有一定的感性认识,同时,教师应向学生提供符合函数零点存在性定理学习的材料或者情景动画,并相应地设计出适合学生探究的学习活动,由此为归纳概括所学概念提供建构的固着点.

用“现象”助“建构”——《函数零点存在性定理》教学尝试

现象教学是情境教学的"再进一步",就是基于真实的情境(所谓的"现实世界")展开自然的探究教学。运用现象教学思想,尝试高中数学《函数零点存在性定理》一课的教学,主要环节包括提供真实的现象、引出自然的探究、指向规范的表达、激活充分的思辨。

零点存在性定理中的“取点”问题

函数零点个数问题一直是高考的热点,解决这一问题主要围绕函数单调性和零点存在性两方面进行.单调性通过导函数的符号即可说明,零点存在性则要熟练应用零点存在性定理进行适当“取点”.笔者通过对试题的全面剖析,提炼解决此类问题的一般方法.

核心素养导向下基于问题驱动的教学思考——以“函数零点存在性定理”教学难点的突破为例

结合“函数零点存在性定理”教学难点的突破,说明如何通过问题驱动,在合适的时机提出有梯度、有层次的问题,从而实现教学难点的突破,落实数学核心素养.

“知”如何到“用”——浅谈函数零点存在性定理的应用

对于函数零点,首先我们会想到的是肯定有难度,然后我们会思考它可以用函数的单调性结合数形结合的思想进行求解,这样的求解方法其实也就是函数零点存在性定理的应用.然而,由于一些学生对这个定理只是了解,使得其就算求出函数的单调性,但是也想不到用函数零点存在性定理来高效地解题,故笔者结合下列的相关问题,谈谈函数零点存在性定理在解题中的妙处,领悟研究数学本质的真谛.

踏破铁鞋无觅处,方法尽在图像中——谈函数零点存在性的证明

为突破零点存在性证明中的难点，浅析了图像法在零点定理中的作用．通过具体例子，阐述了利用函数图像的变化趋势、特殊点、切线等特征，结合放缩法有效地解决了函数零点存在性证明中涉及到的取点问题．

探索利用放缩法证明函数零点存在问题

零点存在性的判断一直是高考压轴导数题的重难点,一般来讲都是利用函数零点存在性定理来判断零点是否存在.函数零点存在性定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线(即y=f(x)在[a,b]上是连续的),并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0.由此可知,需要找到一正一负的两个函数值以推断零点存在.

例析函数零点问题的类型及应对策略

本文以近年高考试题为例,全面解析了函数零点问题的类型及应对策略.

寻求根与参数关系,破解零点区间困局

高考试题中经常出现找出含参函数零点所在的区间,然后用零点存在性定理进行证明的题型.那么,含参函数零点所在的区间是怎么找得出来的呢?

核心素养理念下的数学课堂教学设计——以“方程的根与函数的零点”为例

培养学科核心素养是当前课程实施的新的目标指向,数学核心素养的培养应渗透进课堂教学的每个环节.文章在＂方程的根与函数的零点＂的教学设计中,以凸显方程与函数相互转化的数学思想为指导思想,将数学核心素养落实到课堂教学中.

“方程的根与函数的零点”教学设计、教学反思与点评

“方程的根与函数的零点”一课内容包含一个概念、一种关系、一个定理．通过三个方程的引入，让学生产生困惑，激发求知欲，从而进入课题——利用函数的性质、图象去探究方程的根的情形．给出“函数零点”的定义，得到等价关系，探究零点存在的条件，引出“零点存在性定理”．对定理辨析，利用定理解决教材例1．再实战演练，归纳提升，一气呵成．

例谈含参函数零点问题中的放缩取点方法

通过具体例子,阐述放缩法在含参函数零点问题中的作用.

创新视角下函数的零点问题的突破

函数的零点问题是高中阶段函数部分的一个重点问题,同时也是一个难点问题,零点问题融合了利用导数研究函数的图像与性质、函数零点的概念、零点存在性定理及方程的根的分布等一系列知识,具有较强的综合性。高考通常从以下几种情况进行考查:(1)考查函数的零点个数问题,即借助函数的单调性、图像、零点存在性定理来确定零点的个数;(2)利用零点存在性定理或转化为函数图像的交点问题求参数的范围;(3)求方程的解(函数的零点)所在的区间或与函数零点有关的证明等。要解决函数零点问题,可以从以下几个视角进行突破。

放缩法求函数的零点

纵观2015年至2018年全国Ⅰ卷解答题导数部分试题,函数的零点问题一直倍受命题人青睐.为严谨地运用零点存在性定理,标准答案经常会出现匪夷所思的取点.本文尝试从放缩法的尺度和方法入手,呈现标准答案中未呈现的取点过程,并形成可操作的有效方法,希望对读者有所帮助.限于篇幅,本文仅关注试题的取点部分.

透视函数的零点问题

函数的零点问题是高考常考问题,通常要先利用导数判断函数的单调性,再进一步求解函数的极值或者最值,最后利用零点存在性定理解决问题。

导数与函数的零点易错题剖析

高考中函数的零点主要考查零点所在区间--零点存在性定理,数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中常用到函数的零点,方程思想,与图像交点的转化等知识。下面就函数的零点问题总结同学们的失分情况,为同学们的复习备考提供帮助。

众里寻“它”千百度——讨论函数零点个数的问题

函数的零点问题是近几年高考全国卷中的热点问题.对函数零点个数研究的理论依据是函数的单调性和零点存在性定理,即若连续函数在某个区间上单调,且在该区间内存在实数a,b(a<b)满足f(a)·f(b)<0,则函数在此单调区间内有且只有一个零点.

从“函数的零点”出发论解题教学

函数的零点问题是高中数学函数部分的重要内容,它作为函数方程与图像知识的交汇点,充分体现了函数与方程的联系,蕴含了丰富的数形结合思想.教学中,教师应基于学生已有的知识水平,让他们通过实际体验探究,准确理解应用零点的概念和零点存在性定理,提高解题能力和逻辑思维能力.

基于自主体验的教学设计--以“函数的零点”为例

在教学中教师通过问题串的设计,让学生亲历从简单到复杂、从具体到抽象、从特殊到一般的探索过程,经历概括、归纳、尝试、猜想、验证等过程,使其进行充分的思考和自主探究.学生在探究结论的过程中能够掌握研究问题的一般方法,积累解决数学问题的经验,提升自主探究能力,发展直观想象、数学抽象等素养.

函数与导数压轴题中“取点问题”的常用放缩策略

所谓“取点问题”,一般是在涉及零点存在性或者判断零点个数时,依据函数单调性、零点存在性定理需要取函数值大于0或者函数值小于0的点。在近几年全国高考的导数解答题中,命题人不回避这一热点,几乎年年考查。由于“取点”方法难度较大,不易表述,很多同学在学习时感到不知所措。取点有不少视角,其中常见的是通过放缩取点。为了提升备考效率,笔者总结了几种“取点”的基本策略,供大家参考。