复规范形法求解非共振双Hopf分岔系统的最简规范形

提出了一种应用复规范形理论获取非共振双Hopf分岔系统最简规范形的有效方法,以简化最简规范形的求解过程.建立了复坐标下非共振双Hopf分岔系统的规范形及非线性变换,采用复数运算替代原有实数形式矩阵表示法的矩阵推导过程,获得了系统高阶关键方程的一般形式,简化了非线性变换的表达式,并且由此推导出了此类系统的最简规范形表达式.所附算例验证了最简规范形理论对于简化传统规范形结果的有效性.

Stuart-Landau时滞系统非共振双Hopf分岔

在 Stuart- L andau系统中 ,通过系统每个变量到自身的时滞反馈 ,建立 Stuart- L andau时滞模型 ,研究时滞和反馈增益对该系统联合作用的影响规律。确定在时滞和反馈增益系数两参数表明的空间中系统平凡解的线性稳定性条件 ,利用 Hopf分岔定理得到系统出现 1∶ 2双 Hopf分岔的充分必要条件。借助中心流形和规范型方法 ,将系统约化到四维中心流形。从理论上预测由时滞和反馈增益导致的双 Hopf分岔点附近的动力学行为 ,得到双Hopf分岔引起的各种不同拓扑结构的周期解的解析形式 ,数值模拟与理论分析结果完全一致。结果表明 :时滞和反馈增益不仅可以使系统的运动进入所谓的“静默区”,而且可以导致非共振双 Hopf分岔和它产生的不同拓扑结构的周期运动和多稳态周期运动。

具有时滞耦合的n个van der Pol振子弱共振双Hopf分岔

研究了具有时滞耦合的n个van der Pol振子系统中发生的弱共振双Hopf分岔.应用改进的多尺度方法,得到了2∶5共振的复振幅方程.通过将复振幅设为极坐标形式,将复振幅方程转化为一个二维的实振幅系统.通过研究实振幅方程的平衡点及其稳定性,对系统在2∶5共振点附近的动力学行为进行了开折和分类.得到了一些有趣的动力学现象,如振幅死区、周期解和双稳态解等,相应的数值模拟验证了理论结果的正确性.

多重非内共振Hopf分岔的正规形

利用我们提出的求正规形的新方法［１］，推导高维非线性动力系统的多重非内共振Ｈｏｐｆ分岔正规形（系统的Ｊａｃｏｂｉ矩阵有多对比值为无理数的纯虚特征值出现的情况），给出原系统系数与其正规形系数之间的简单的关系式．

Van der Pol-Duffing系统共振双Hopf分岔

研究时滞反馈van der Pol-Duffing系统的共振双Hopf分岔,讨论时滞量和位移反馈增益变化对双Hopf分岔的影响。利用Hopf分岔定理得到系统出现1∶2共振双Hopf分岔的充要条件;借助中心流形定理和平均化方法约化了系统,从理论上分析共振双Hopf分岔点附近的动力学行为,得到共振双Hopf分岔引起的各种周期解的近似解析解和稳定性条件;通过数值实验,验证了理论分析的正确性。结果表明,时滞和位移反馈增益不仅导致共振双Hopf分岔,而且会使系统出现多稳态周期运动。

双摆内共振分岔分析

应用normalform理论 ,首先分析了复摆自治系统在 1:1内共振临界点附近的Hopf分岔解及其在参数平面上的分岔转迁集的解析表达式 ,并与数值解进行了比较 ;然后 ,应用数值方法 。

振动筛系统双Hopf分岔的反控制

振动筛系统是一类非光滑度很高的多参数非线性动力系统,传统的分岔准则无法直接适用,这里采用了新的不依赖于特征值计算的显式分岔临界准则,以实现振动筛系统双Hopf分岔的反控制.首先,根据系统的运动方程得到Poincaré映射在不动点处的线性化矩阵;然后,对系统施加线性反馈控制器,得到受控后的Poincaré映射,根据分岔临界准则求得双Hopf分岔的显式临界条件;最后,通过模态叠加法对两类系统分别进行了数值模拟.结果显示,在相同的系统参数下线性反馈控制器通过调整控制参数,可以有效地实现双Hopf分岔的反控制.双Hopf分岔可以提高一些振动机械的工作效率,具有一定的实际意义.

一类非自治滞后-自激系统的主共振与锁模现象

研究一类受外激励作用的滞后－自激系统（ｖａｎ ｄｅｒ Ｐｏｌ系统）的振动．对于主共振情况，用平均法求出了稳态响应方程，揭示了响应与系统参数的关系．结果表明，外激励的影响占主导地位，滞后因素对非线性共振频率有影响，而自激因素使得周期解在偏离非线性共振频率后发生Ｈｏｐｆ分岔，转变为概周期运动．通过用环映射法求得旋转数，揭示了主共振前、后的概周期运动中存在的锁模现象，其阶数分布符合Ｆａｒｅｙ树规律．研究表明，锁模振动因滞后非线性因素而产生．随着滞后参数值（代表滞后程度）增大，各阶共振特别是亚谐振动的存在能力增强，对系统结构会带来较大影响．

非线性时滞反馈对共振附近动力学行为的影响

研究了一个具有线性和非线性时滞反馈的极限环振子系统1∶3共振双Hopf分岔.通过应用多尺度方法,得到了该1∶3共振的复振幅方程,并通过将其复振幅设为极坐标-笛卡尔混合形式,将其复振幅方程转化为一个三维的实振幅系统.通过研究其实振幅方程,对系统在有非线性时滞反馈和无非线性时滞反馈两种情况下的动力学行为进行了分类和比较.结果显示,在两种情形下,系统有完全不同的动力学行为.

一个特殊三维混沌系统的退化Hopf分岔

研究了一个特殊的三维混沌系统的动力学行为.通过计算非双曲平衡点处的第一和第二Lyapunov系数,讨论系统发生Hopf分岔和退化Hopf分岔时极限环的稳定性,揭示两种不同类型的吸引子共存的产生机制.

有内共振时的扬声器分谐波和混沌

研究了当轴对称模态由驱动力共振激发,并且轴对称模态和非轴对称模态存在2:1内共振时的扬声器辐射体薄壳的分谐波和昆沌。采用多尺度法分析了非线性模态方程的稳态解及其稳定性,由此进一步确定了驱动频率和驱动力平面上的分岔集。给出了所考虑情形下扬声器分谐波的阈值电压公式,该阈值电压低于无内共振时的阈值电压。除出现非轴对称模态的1/2分谐波振动外,2个模态的振幅经Hopf分岔后作极限环运动,并经倍周期分岔进入混沌运动。混沌出现是由于2个模态间能量的强烈交换。理论结果和实验结果基本吻合,该一致性表明了所建扬声器非线性薄壳模型的正确性。

非磁化等离子体Hopf分岔处随机共振实验

在非磁化的直流放电等离子体中,利用系统内禀的周期驱动力与外加的高斯白噪声的协同作用,成功地在系统动力学轨道Hopf分岔的不动点一侧,观察到了周期信号的信噪比被噪声改善的随机共振现象.一维过阻尼系统的随机共振模型可以解释所观察的实验结果.比较实验结果与理论模型可知,系统动力学轨道发生Hopf分岔的原因是系统双稳态之间势垒的变化;在Hopf分岔的极限环一侧观察不到随机共振现象。

多对纯虚特征值问题分岔的正规形

在仅知道高维非线笥动力系统线性部分所有纯虚特征根（不满足内共振条件），而不知道其它非零实部特征根的情况下，推导求解系统正规形的递推公式。为方便应用起见，给出了用原系统系数显式表示的三阶正规形系数。