非原子测度空间上的Fredholm复合算子

算子的Fredholm性质、本性酉、本性正规性的研究长期受关注,特别是Fredholm算子在什么条件下是可逆算子一直是Fredholm算子研究的中心问题.讨论了非原子测度空间(X,φ,u)上L2(u)上的复合算子的Fredholm的本性酉、本性正规等性质以及Fredholm算子存在的条件.

无原子可测集的一个注记

针对测度在无原子可测集上的取值问题,提出两个新命题进行讨论。利用下定向的随机变量集合的下确界性质,通过对可测集的剖分,结合可测集与测度的性质,凭借反证法证明了测度为正数a的无原子可测集中必存在某个可测子集,使其测度落在区间[a/3,2a/3]内;在此基础上用数学归纳法证明了无原子可测集中必有一个单调不增的子集列,使得对无论多小的正实数区间,子集列中总存在某个集,其测度落在区间内;证明了测度不小于某正实数λ的无原子可测集中必存在某可测子集,使其测度落在区间[λ/3,2λ/3]内;进一步给出经典定理的新证明:若0<b<a,则测度为a的无原子可测集中必存在某可测子集,使其测度恰好为b;最后简要分析了文献中对定理的不同证明。