非良基公理的本质及其应用

精确图就是具有单射装饰的可达点图。非良基公理可以归结到对精确图外延的确定上。不同的非良基公理对应了不同种类的精确图,进而形成不同的非良基集合论。尽管近些年来AFA吸引了众多人的注意力,但是巴威斯(Barwise)和莫斯(Moss)在证明AFA(每个图有唯一装饰)的合理性和方程解的唯一性中有乞题之嫌;使用AFA处理自指悖论也过于勉强。相比较而言,FAFA是最自然的非良基集合论系统。

非良基公理和非良基集合论的域

正则互模拟是非良基公理和非良基集合论形成的基础,基于正则互模拟形成了一簇非良基公理。定义了三种正则互模拟≌*、≌t和≡V0,由它们生成的非良基公理AFA≌*、AFA≌t和AFA≡V0与经典的非良基公理FAFA、SAFA和AFA分别等价;非良基公理FAFA和AFA位于非良基公理簇的两端,SAFA处于FAFA和AFA之间;非良基公理FAFA、SAFA和AFA两两不相容;与非良基公理FAFA、SAFA、AFA相对应的外延力依次增强,而相对应的非良基集合论的域依次缩小。

非良基集合的域和分类

本文介绍正则互模拟理论并比较了正则互模拟的外延性大小,通过对非良基公理之间不相容的条件的讨论,我们进一步比较了由正则互模拟决定的非良基集合域的大小,最后对非良基集合论FAFA、SAFA和AFA中的非良基集合进行了分类。

非良基集与共代数理论研究

作为经典集合论的扩张,非良基集合论具有更为丰富的集合全域。它能够提供一套完备的工具刻画现实世界中众多的循环现象。共代数是代数的对偶概念。在非良基的范畴下,使用共代数方法,可以方便地构造各种循环现象在集合理论上的模型。因此,对非良基集及共代数理论的研究极具吸引力。

图的典范装饰与方程组的典范解

在集合论ZFC+AFA中,每个图有唯一装饰,每个方程组有唯一解。但是,在集合论ZFC+SAFA和ZFC+FAFA中,每个图并非只有一个装饰,每个方程组并非只有一个解。笔者通过定义互模拟坍塌概念,在可达点图的典范装饰概念的基础上导出方程组的典范解,提出并证明:在上述三种具体的非良基集合论中,每个可达点图都有唯一的典范装饰,每个方程组有唯一的典范解。