关于非退化二次曲线定义的等价性

本文列举了非退二次曲线的三种定义,并证明了它们之间的等价性。

非退化二次曲线过其内点和外点的切线

首先统一给出了过平面上任一给定点M0所引的给定二次曲线Γ的切线的方程,进而定义了以一般方程的形式给出的非退化二次曲线Γ的内部和外部,并证明了过不在Γ上的点M0可作Γ的两条实切线的充要条件是M0在Γ外部,过M0存在Γ的两条共轭的虚切线的充要条件是M0在Γ的内部.其中以I3F(x0,y0)的符号给出了判定M0是Γ的内部和外部的条件.

非退化实二次曲线的一个重要性质

本文给出了非退化实二次曲线的一个重要性质,统一并推广了文(1)(2)的结果。

二次曲线系方程巧解三类圆锥曲线问题

曲线系方程是课本习题以拓展探究形式呈现,以此知识点开展探究课,有利于拓展学生的知识,提高学生的数学素养,本文的研究对二次曲线系方程的探究课具有一定的参考价值.

二次曲线的准线方程

给出用二次曲线方程的系数直接表出的准线方程

关于非退化二阶曲线上的射影变换及对合

将文献 [1]中的结果推广到非退化二阶曲线的情况 ,得出非退化二阶曲线到自身的双射成为射影变换及对合的充要条件 :非退化二阶曲线Γ到自身的双射 φ为射影变换的充要条件是 φ下的全部交错点共线 ;非退化二阶曲线Γ到自身的一个双射 φ为对合的充要条件是 φ下的全部交错点及全部对应三点形对应边的交点共线。然后 ,再将非退化二阶曲线到自身的双射为对合的充要条件推广到退化二阶曲线两相异点列的情形。

再谈在限定条件下非退化二次曲线内接梯形的存在性及作法

读了文[1],文[2]及文[3]受益匪浅,文[1]和文[2]利用较长的篇幅给出了在限定条件下非退化二次曲线内接梯形存在性探究,两文共给出8个命题,结论简洁,优美,十分有趣.笔者认为其证明虽然方法独特、巧妙但非常繁琐,8个命题虽然给出了梯形的存在性,但都没给出此梯形具体作法,另外文[1]的命题4应该添加＂直线MA1不平行抛物线的对称轴＂,文[2]的命题2和命题4都应该添加＂直线MA1不过双曲线的中心＂.

非退化二次曲线一个定理的解析证明

分别在射影平面上以及在欧氏平面上利用笛卡儿直角坐标系(以圆为例)对非退化二阶曲线到自身的双射成为对合的一个充要条件定理的推论进行了解析证明。这个定理和推论将极线、巴斯加线、透视轴等相应理论联系了起来,便于将射影几何中的结论应用于解析几何和初等几何。

西摩松定理的推广

本文首先利用巴斯加定理将著名的西摩松定理推广到非退化二阶曲线,然后讨论它的特例和对偶命题,由此又得到系列新的几何定理。

Maclaurin定理的推广及其应用

本文主要讨论在三维射影空间里一个二次曲面关于一个非退化二次曲面的配极变换下的配极图形的情况，运用对射变换和对偶原理进行论证，得到文中的定理1至定理4及其有关推论。将它们应用于二维射影空间，便得到相应的定理5至定理8及其推论。从而使得Maclaurin定理[1]作为定理7至定理8在特殊情况下的推论。指出了Maclaurin定理是配极变换下的一对配极图形之间的对应关系。最后应用这些定理证明一些配极图形。

关于配极图形的注记

本文主要讨论在二维射影空间里一条二次曲线关于一非退化二次曲线的配极图形，并得到有关的推论。