利用齐次化与非齐次化思想证明不等式竞赛题

设含有变量x1，x2,…，xn的不等式，如果对任意正数λ，用λx1，λx2，…，λxn去替代x1，x2，…，xn所得的不等式不改变，则称这个不等式是齐次不等式，否则，称这个不等式是非齐次不等式．

构造齐次式,妙证不等式

在一个不等式中,如果各项的次数相同,我们称之为齐次不等式,由于齐次不等式结构上对称、简洁、因而处理起来更容易、更有规律,另外,很多重要的不等式,例如均值不等式、柯西不等式都是齐次不等式,所以在证明一些带条件的非齐次不等式时,如果能借助条件对原不等式进行恒等变形,将非齐次不等式转化为齐次不等式来处理,往往会产生出奇制胜的效果.下面举例进行说明.

例析齐次化方法在不等式证明中的应用

所谓齐次化就是将要证明的非齐次不等式利用所给条件转化为齐次不等式的方法．由于许多重要不等式，如均值不等式、柯西不等式自身就是齐次不等式，所以证明一些带条件的非齐次不等式时，若能利用所给条件对原不等式进行恒等变形，转化为易于证明的齐次不等式形式，则问题将得到解证．下以数例说明．

具有时滞的脉冲抛物系统的强迫振动

考虑一类具强迫项的脉冲时滞抛物系统。建立了这类系统在两类不同边界条件下强迫振动的若干判别准则。

由∑bc-(4Πa)/9≤1/4引起的“链式反应”

针对一类条件为 :a+b +c=1(a ,b,c为非负实数 )的三元非齐次不等式的证明问题 ,笔者提出如下定理 : ∑a2 +2 ∑bc=1Ⅰ ∏a≤ 12 7 Ⅱ ∑bc-49Πa≤ 14 Ⅲ本文列举 10道三元非齐次条件不等式 ,均可由该定理直接或间接得到证明。其证明途径可列成如下网络 :这就是定理所产生的“链式反应”的主链、侧链。