高波数Helmholtz方程的内罚有限元方法

本文考虑二维和三维区域上高波数Helmholtz散射问题的线性内罚有限元方法.该散射问题的边界条件取为一阶吸收边界条件.本文证明了,如果加罚参数γ=γr+iγi的虚部γi大于零,那么内罚有限元方法是绝对稳定的,即对任意k,h,R>0都存在唯一解.这里k是波数,h为网格尺寸,R是区域的直径.进一步地,如果|γr|γi1,那么存在与k,h,γ,R无关的常数C0,C1,C2,使得当k3h2RC0时,该方法的H1误差界为(C1kh+C2k3h2R)RM(f,g),当k3h2R>C0且kh有界时,H1误差界为(C1kh+C2/γi)RM(f,g),其中M(f,g):=(∥f∥L2(Ω)+R-1/2∥g∥L2(Γ))+R-1|g|H1/2(Γ).另外,本文还推导了L2误差估计.注意到γ=0时内罚有限元方法就是经典的有限元方法,通过取加罚参数为iγi并令γi趋于0+,本文还在k3h2RC0的条件下,得到了有限元方法的稳定性和误差估计.作者以前的工作只考虑了加罚参数为纯虚数的情形并且没有考虑对R的依赖关系.