一类高阶有理差分方程正平衡解的稳定性

文章研究了一高阶有理差分方程y_(n+1)=A=By_(n-k)/α+βy_(n)+γ_(yn-k)的正平衡解的性态,其中α,β,γ, A,B为正实数,k≥1为正整数,初始值y_(-k),y_(-k+1),…,y_(0)为非负实数,研究获得了该方程唯一正平衡解具有局部稳定性的充要条件以及全局渐近稳定的充分条件。

高阶思维立意的章起始课教学与思考——以人教版“二元一次方程组”章起始课为例

数学教学是发展学生思维的教学,高层次思维活动的显著性特征是整体性,而章起始课就是立足整体化的统领性教学。文章以人教版数学七年级下册“二元一次方程组”章起始课教学为例,基于学生高阶思维的培养进行教材分析、目标设置、教学过程设计,并基于学生高阶思维的优化进行教学反思,提高以章起始课为载体的高阶思维发展共识。

高阶分数阶微分方程边值问题解的唯一性

分数阶微积分是整数阶微积分的推广,主要研究任意阶微分和积分的理论和应用问题,由于其更加适合描述具有遗传和记忆特质的材料与过程,因此广泛用于解决混沌与湍流、随机游走、统计与随机过程、粘弹性力学、电化学等诸多领域所面临的问题。目前,高阶分数阶微分方程边值问题解的存在唯一性是研究的重点课题之一。本文将借助泛函分析等相关工具,对非线性项含未知函数分数阶导数的边值问题进行深入探讨。首先通过降阶将原边值问题转变成非线性项不含导数的等价边值问题,接着分析Green函数的性质,然后利用混合单调算子不动点定理得到边值问题解的唯一性结果,最后举例说明结果的正确性。

高阶Haar小波方法求解一类Caputo-Fabrizio分数阶微分方程

利用高阶Haar小波配置法求解了一类Caputo-Fabrizio分数阶微分方程。通过Caputo-Fabrizio分数阶积分将原方程转化为等价的二阶常微分方程,再结合高阶Haar小波配置法将得到的常微分方程化为线性代数方程组进行求解。数值实验表明,使用很小的尺度J可以得到满意的数值精度,且增加尺度J可以获得更高精度的数值解,该算法稳定,具有一定的应用价值。

初值奇异性非线性分数阶常微分方程的高阶数值方法

考虑非线性分数阶常微方程高阶格式的精确解具有初值奇异性,从而引入初值变量和逐块方法,再利用拉格朗日插值公式,提出一种新的高阶数值格式。该高阶数值格式为非光滑解条件下的5+α阶。

Sobolev方程的高阶有限元法研究

针对带有对流项的Sobolev方程,结合高阶杂交有限元方法与投影稳定化技巧,提出半离散格式的高阶有限元方法。离散解由单元内部与单元边界两部分组成,分别采用等阶多项式空间来逼近。经过梯度及对流项重构并增加合适的稳定项后,此方法具有三个特点:(1)具有稳定性;(2)具有高阶误差估计;(3)在对流占优情况下误差估计也成立。

可降阶的高阶微分方程中的一个教学案例

针对本科高等数学课程中可降阶微分方程教学内容的特点以及军队院校育人要求,为了更好地提高学生学习积极性、培养学生数学应用能力,以导弹飞行轨迹问题为切入点设计教学案例,通过创设情景、提出问题,引导讨论、建立模型,归纳分析、引出教学内容,分析讨论、讲解求解方法,回归问题、培养应用能力等五个环节,对教学过程进行重新设计,方便教师使用。

孤立子与可积系统辅助求解高阶非线性薛定谔方程的可行性分析

文章选择变系数非线性耦合薛定谔方程作为高阶非线性薛定谔方程样例,通过达布变换求解常数系非线性耦合薛定谔方程.最后比较光超格子势阱等势阱作用下,VCNLS方程组解的动力学行为.研究表明,参数d值、h值的变化,将会引起VCNLS方程组中的亮亮孤立子解、亮暗孤立子解、怪波解的变化;势阱作用下,同一个解出现周期性变化,且形状与运动轨迹均出现变化,表明孤立子与可积系统辅助求解高阶非线性薛定谔方程具备可行性.

高阶微分方程启发的红外小目标检测网络

红外小目标检测广泛应用于红外检测、红外跟踪等诸多实际领域,但红外小目标检测难度较大,现有红外小目标检测方法不能解决复杂背景问题,并且在特征提取中容易丢失细节信息.因此,文中提出高阶微分方程启发的红外小目标检测网络.在可解释的理论指导下设计四阶Adams引导的特征融合模块,引入自适应权重因子,有效融合不同层级的多尺度信息,并将求解的高阶差分方程应用于网络,通过深层次的学习消除冗杂信息.目标特征增强模块使用不同尺度卷积构成的残差结构,旨在对原始特征进行抑制背景噪声和增强信息量大的多尺度特征操作.在公开数据集SIRST上的小目标检测实验表明,文中网络检测结果的多个评估指标值以及视觉效果均较优.

一类特殊高阶微分方程的解的分析

常微分方程已经有三百年左右的历史,理论上几乎和微积分同步,但雏形甚至比微积分还略早一些.直到18世纪中期,它才成为一门独立的学科.文章主要介绍一类特殊的高阶微分方程如何求解,并对解的情况进一步分析,得出这类高阶微分方程最优化的通解表达式.

矩形/长方体网格单元时间高阶有限差分波场数值模拟

有限差分法在求解不同类型地震波动方程中广泛应用,提高有限差分在时间域和空间域的地震波场数值模拟精度十分重要。为了提高现有时间—空间域高阶差分方法的精度和灵活性,提出了基于矩形/长方体网格单元的改进时间—空间高阶有限差分方案,分别求解二维和三维声波方程。改进差分法主要通过联合旁轴网格节点和传统轴向节点来共同完成偏导数近似,进一步结合平面波理论和泰勒级数展开求取改进模板中的高阶差分系数。数值精度分析表明,改进差分方案相较于传统方法具有更高的数值精度和稳定性。多个模型算例表明,在相同参数条件下,改进差分方法在兼顾空间模拟精度的前提下能够提高时间模拟精度。此外,改进模板沿不同空间方向可以选用不同的网格步长,有效增加了波场模拟的灵活性,能够为后续的地震成像和反演提供有效波场延拓工具。

可降阶的高阶微分方程的课程思政

为了研究高等数学中的课程思政,以高等数学课程中“可降阶的高阶微分方程”一节内容为例,探索如何将思政元素无声地融入到课堂中,根据现在社会下学生的学习状态和知识吸收度进行课程设计。通过与传统教学模式相比,将课程思政融入到教学中,有益于集中学生注意力、增强学生的民族自豪感,帮助学生树立正确的人生观价值观,更好地贯彻教书育人、立德树人的教学理念。

基于高阶DG方法的非定常流场声辐射特性数值模拟研究

随着航空噪声越来越受到关注,计算声传播的算法成为研究热点。高阶间断伽辽金(Discontinuous Galerkin,DG)方法具有高精度、对网格质量要求低、适合自适应和并行计算等优点,可以以较高的效率对声场进行计算。文章运用高阶DG方法对线性化欧拉方程(Linearized Euler Equations,LEE)进行空间离散,并且基于离散后的线性化欧拉方程对带有背景流场的NACA0012翼型和30P30N多段翼型的声场进行数值计算。采用有限体积法计算得出流场信息后,通过插值将流场数据导入声场网格,并运用高阶DG方法进行声场计算。计算结果与参考文献中FW-H(Ffowcs Williams-Hawkings)算法对比一致性较好,验证了高阶DG算法的可行性。

带Navier边值的高阶椭圆方程正解的不存在性

本文采用Mitidieri(1993)的经典Kelvin变换和Pohozaev恒等式方法,在较大的指标范围内,得到了带Navier边值的高阶椭圆方程和方程组的Liouville型定理.

(2+1)维广义Hietarinta-type方程的呼吸解和高阶lump-type解

为了构造(2+1)维广义Hietarinta-type方程丰富的精确解,基于Hirota双线性方法研究该方程。Hirota双线性方法是一种求非线性发展方程孤子解的简单而直接的代数方法。近年来该方法已经在构造非线性发展方程精确解的研究领域上得到了广泛的应用。基于该方法,构造非线性发展方程的非线性波对数学、物理、力学等学科中的高维非线性问题的研究有非常重要的理论和应用价值。利用Hirota双线性方法给出了(2+1)维广义Hietarinta-type方程的双线性形式,并运用符号计算软件Maple获得了该方程的呼吸解和高阶lump-type解。再通过选择适当的参数,绘制了这些解的三维图、等高线图和密度图,并分析和描述了解的动力学性质。这些结果丰富了目前关于(2+1)维广义Hietarinta-type方程文献中的结果。

求解对流扩散反应方程的高阶指数型组合紧致差分格式

针对一维对流扩散反应方程,基于对流扩散方程的四阶指数型紧致差分格式,采用四阶混合差分逼近算子和Padé公式,间接地构造了两种求解一维对流扩散反应方程的四阶指数型组合紧致差分格式;针对二维对流扩散反应方程,采用降维法,结合高阶混合差分逼近算子和Padé公式构造了求解二维对流扩散反应方程的四阶指数型组合紧致差分格式.本文所提差分格式较经典四阶格式和文献中的组合型格式具有更低的耗散性,因此对于对流占优等边界层问题的求解计算精度更高.最后给出数值算例验证了本文格式的精度.

完全匹配层在矩阵式波动方程SBP-SAT方法应用

数值离散方法和截断边界效果是地震动模拟实现的关键。基于分部求和(summation-by-parts,SBP)和一致逼近(simultaneous approximation term,SAT)的SBP-SAT方法具有较高的稳定性,这使得该方法具备了较高的应用前景和价值。此外,完全匹配层(perfect matching layer,PML)是一种应用广泛用于模拟截断边界的技术,但引入匹配层可能会破坏原始方程的稳定性,特别是在各向异性介质或曲线域模型中。首先基于数理推导,给出弹性波动方程系数矩阵的对称形式。在此基础上,引入多轴完全匹配层(multi-axis perfect matching layer,MPML),并建立相应的匹配层方程。通过本征值分析,我们可以判断阻尼函数对原方程特征根实部的走向和取值范围的影响。然后,我们采用SBP-SAT方法对矩阵对称形式匹配层方程进行离散,并在频域中采用能量法进行稳定性评估。通过对不同模型的数值仿真,表明所提出的离散框架具有整合度高、稳定性好和拓展性强等特点。此外,多轴匹配层可以与SBP-SAT方法结合,可以稳定地模拟曲线域中的波传播。

外力密度依赖于速度的两类高阶n维非线性发展方程解的爆破

基于两类外力密度依赖于速度的高阶n维非线性发展方程解的爆破问题,研究外力密度依赖于速度的一类在粘弹性力学中具有实际背景的4M阶n维非线性发展方程解的爆破性质,在某些条件下用能量积分结合Jensen不等式研究该类方程解的爆破性质;用能量积分结合Jensen不等式研究外力密度依赖于速度的一类4M+1阶n维非线性发展方程解的爆破性质.

高阶Schrdinger方程双参数高精度恒稳差分格式

对高阶Schr dinger方程 u t=i( - 1 ) m 2mu x2m 构造一族含双参数的三层高精度隐式差分格式 .当参数α=1 /2 ,β =0时得到一个两层格式 .并证明了 :对任意非负参数α≥ 0 ,β≥ 0该格式都是绝对稳定的 ,并且其截断误差阶达到O( (Δt) 2 + (Δx) 6) .数值例子表明 :本文所建立的差分格式是有效的 。

“偏微分方程”课程中的高阶学习探索

本文以本科“偏微分方程”教学中涉及的格林公式与高斯公式为出发点,通过复数乘积的几何解释,将格林公式与高斯公式在积分形式上统一为无空间维数要求的散度定理。进而引入一般的分部积分公式,使学生对抽象积分有一个初步的了解,达到在“偏微分方程”课程中进行高阶学习探索的目的。