三阶龙格-库塔时间分裂显式算法的误差分析

分析了新一代非静力中尺度数值模式中常用的三阶龙格-库塔时间分裂显式算法(RK3)的稳定性和误差性质,特别是分析了空间中央差分和迎风偏斜两种不同情况下该算法不同的稳定性和误差性质。运用数学软件先进的符号计算功能,分析了该算法涉及的复杂高阶、高次幂振幅矩阵的特征值性质;并通过一维线性声波-平流方程组的数值模拟实验,检验了时间分裂算法的模拟效果。对振幅矩阵特征值模的表达式进行高阶的级数展开,得到了该算法的分裂误差项的公式;而且,由于特征值模的公式保留了较高阶项,可以同时分析迎风偏斜和中央差两种空间差分格式的分裂误差性质。根据分裂误差项公式,定量地比较了三阶和二阶龙格-库塔格式(RK2)的分裂误差大小以及误差与小时间步数的关系,发现迎风格式RK3的分裂误差明显小于RK2的误差,并具有更好的稳定性质。空间中央差格式的分裂误差项具有更高阶数,比迎风格式具有更小的时间分裂误差。对于各种不同波长的特征值分析和采用中央差格式的数值模拟,也进一步证实空间差分采用中央差时,RK3时间分裂显式算法在不同方向传播的声波振幅几乎没有差别。另外,误差公式以及数值试验结果说明RK3的分裂误差也略小于Adams-Bashforth-Moulton分裂显式法的分裂误差。