2-循环相容次序阵的AOR迭代的收敛域

设A∈Cn×n是2-循环相容次序阵,其Jacobi阵J的非零特征值均为纯虚数.记α=ρ(J).本文证明了A的AOR迭代阵Lr,ω(约定ω>0,r≠0)收敛当且仅当参数ω,r满足条件0<ω<21+α2,ω+ωα-22<r<12ω+(2ω-αω2)2,r≠0,或等价地,r≥rb,0<ω<2+rα2-α1+αr22α2+4r-4;rb≥r>-α22,r≠0,0<ω<21++rαα22,其中rb=1+21+α2.这一结果纠正了薛秋芳文给出的相应结果,并指出了其中的3个问题.

关于SAOR迭代法的注记

设A是2-循环相容次序阵,其Jacobi阵J的特征值均为实数,记α=ρ(J)>0.本文证明了两个主要结论:(1)SAOR迭代收敛α<1且参数ω与γ满足条件0<ω<2,ω-2-ω/α<γ<ω+2-ω/α,或等价地,2≤γ<2/α,0<ω<2-γα/1-α;-2/α<γ≤2,0<ω<2+γα/1+α.(2)以Sγ,ω表示SAOR迭代阵,则:当ω≠1时,ρ(Sγ,ω)>α2;当ω=1时,ρ(Sγ,1)=α2,若γ∈[0,2];(γ-1)2α2>α2,若γ<0或γ>2.这表明:SAOR迭代的渐近收敛因子是α2,最优参数是ω=1与γ∈[0,2].本文的结果改进了张引的两个相关结论.