变阶Allen-Cahn方程的有限差分及收敛性分析

以泊松方程的形式表达的相场模型Allen-Cahn(AC)方程被广泛应用于图像处理、晶体生长、随机扰动等问题的研究中.为分析变阶Allen-Cahn方程的有限差分格式的收敛性,利用一个隐式的有限差分格式来对变阶AC方程进行离散,包含变阶Caputo导数的近似、二阶中心差分以及泰勒展开式的应用.根据盖尔定理和矩阵范数的性质证明了变阶Allen-Cahn方程差分格式的无条件稳定性和收敛性,并通过数值分析验证限差分格式的有效性.结果表明,通过算例的解析解和数值解之间的平面对比图,说明所采用的有限差分格式是可解且准确的.差分格式在时间、空间方向上是收敛的.

SAV/重心插值配点法求解Allen-Cahn方程

采用标量辅助变量(scalar auxiliary variable, SAV)方法结合重心插值配点法求解二维Allen-Cahn方程.在时间方向上分别采用Crank-Nicolson格式、二阶向后差分格式离散,空间方向上采用重心Lagrange插值配点法离散,建立了两种无条件能量稳定SAV格式,并给出了重心插值配点格式的逼近性质.数值实验表明:两种SAV配点格式的时间收敛阶为二阶,并满足能量递减规律.与空间采用有限差分法离散对比,重心Lagrange配点格式具有指数收敛的特性.

Allen-Cahn方程的时空谱配置法

Allen-Cahn方程是重要的相场模型,在界面动力学问题研究中得到广泛应用.在时间和空间方向上使用Legendre-Gauss-Lobatto结点构造了Allen-Cahn方程的谱配置格式,并使用不动点选代法求解所得非线性系统。丰富的数值算例验证了新算法的有效性。

求解Allen-Cahn方程的半隐配点格式

本文首先对Allen-Cahn方程在空间方向基于重心Lagrange插值配点法进行离散,在时间方向分别采用向后欧拉格式(BDF)和Crank-Nicolson(CN)格式进行离散,对其非线性项采用显格式处理,建立半隐配点格式并导出相应的离散线性方程组.然后,对空间一维半离散格式以及二维全离散格式进行相容性分析.最后,通过数值算例验证半隐配点格式的高精度性以及能量随时间递减的性质.与经典的两种差分离散格式进行比较,数值结果表明本文所建立的格式可以用较少的节点达到较高的精度.

求解一维Allen-Cahn方程的保能量耗散Du Fort-Frankel格式

Allen-Cahn方程的保结构算法常常是全隐线性格式或全隐非线性格式。为提高计算效率,本文提出一类显式Du Fort-Frankel格式,所得数值解保持能量耗散定律。最后,数值结果验证了格式的有效性和保能量耗散性,同时在空间网格为h,时间步长τ = h2的情况下,得到数值解具有二阶的收敛精度。

Allen-Cahn方程的虚拟元方法

In this article,the virtual element method of the Allen-Cahn equation on a polygon grid is discussed in the fully discrete formulation.With the help of the energy projection operator,we give the corresponding error estimates in the L2 norm and H1 norm.

一维Allen-Cahn方程有限差分方法的离散最大化原则和能量稳定性研究

研究了一维Allen-Cahn方程有限差分方法逼近.空间方向采用中心有限差分格式,而时间方向分别采用带稳定项的一阶线性隐显格式、二阶非线性校正Crank-Nicolson格式和二阶线性Leap-Frog格式.证明了数值格式的离散最大化原则和能量稳定性.

基于Allen-Cahn方程图像修复的算子分裂方法（英文）

本文提出了一种基于Allen-Cahn方程图像修复的算子分裂方法.其核心思想是利用算子分裂方法将原问题分解为一个线性方程和一个非线性方程,线性方程使用有限差分CrankNicolson格式进行离散,非线性方程利用解析方法进行求解,因此时间和空间都能达到二阶精度.由于该方法只作用于图像需要修复的区域,而其余区域的像素值与原始图像的保持一样,可以大大提高计算效率.合成图像和真实图像的数值实验验证了该算法的正确性和有效性.

一类带非局部项的Allen-Cahn方程解的存在性

从图像处理中的修复、去噪与分割等问题出发,结合两相流的数学理论,提出了一类具有非局部项的Allen-Cahn方程的初边值问题,该方程与经典的Allen-Cahn方程相比,最大的不同之处是主部含有非局部项,然后利用Schauder不动点定理得到了带非局部项的Allen-Cahn方程初边值问题解的存在性.

有限差分-谱方法求解Allen-Cahn方程的误差分析

利用一阶有限差分-谱方法求解Allen-Cahn方程u_t-Δu+1/(ε~2)f(u)=0并进行严格的误差分析,其中交面宽度ε是一个很小的参数.误差分析结果表明:若初始解u_0的正则性受ε^(-σ)控制,当时间步长δt充分小以及多项式阶数N充分大时,全离散格式的误差界也受ε^(-σ)控制.该误差分析有效改进了误差界受1/e^(ε^2)控制的结果.

重心插值配点法求解Allen-Cahn方程

利用重心插值配点法(重心Lagrange插值配点法和重心有理插值配点法)构造包含时间、空间变量的近似函数,给定Chebyshev点族;将重心插值配点法代入Allen-Cahn方程及定解条件,得到离散方程组,并采用Newton迭代格式求解方程组.数值算例表明:文中的配点法具有较高精度;利用2种配点法的能量函数满足能量递减规律.

二维Allen-Cahn方程的有限差分法/配点法求解

对二维Allen-Cahn方程中的时间方向采用有限差分法,空间方向采用重心插值配点法,非线性项采用牛顿迭代法,导出离散的线性代数方程组.最后,通过数值算例验证配点法格式的精度及能量递减规律.

利用Laplace变换求解分数阶Allen-Cahn方程

考虑Caputo型分数阶Allen-Cahn方程的高效数值算法,利用Laplace变换将其转化为整数阶Allen-Cahn方程.利用算子分裂方法进一步将其分解为热传导方程和非线性方程.其中,非线性方程精确求解,热传导方程采用二阶差分方法求解.数值实验表明了所给格式的有效性.

求解二维Allen-Cahn方程的两种ADI格式

为了构建二维Allen-Cahn方程的高效数值格式,利用算子分裂方法将原方程离散成非线性方程和二维热传导方程,其中,非线性方程有解析解.二维热传导方程时间离散采用Crank-Nicolson格式,空间离散分别采用二阶中心差分和四阶Padé逼近,得到两个稳定的数值格式.数值实验结果表明:格式具有有效性;能量呈现递减规律.

Chebyshev谱配置方法求解Allen-Cahn方程（英文）

给出了一种求解Allen-Cahn方程的高精度的数值计算方法。在空间离散中采用具有谱精度的Chebyshev谱配置方法,得到一组非线性常微分方程组(ODEs)。时间方向上,采用紧致隐式积分因子方法。该方法结合了谱方法和紧致隐式积分因子方法的特点,具有精度高,稳定性好,储存量小以及计算时间快等优点。最后给出的数值算例验证了该方法的有效性。

时间分数阶Allen-Cahn方程的重心插值配点法

采用Laplace变换近似Caputo型分数阶导数,将分数阶方程转换成整数阶方程;然后,在时-空方向均采用重心插值配点法离散,非线性项采用Newton迭代格式求解,并给出配点格式的相容性误差分析.数值实验表明:该配点法格式具有较高精度,能满足能量递减规律.

具有对数自由能的空间分数阶Allen-Cahn方程的数值分析

针对含有对数自由能的空间分数阶Allen-Cahn方程,提出在空间上使用二阶中心差分,时间上采用二阶Crank-Nicolson差分格式的数值方法.在此基础上,阐明其数值解在合理的时间步长的限制下是唯一可解的,且满足极大值原理与离散能量稳定性.基于极大值原理,进一步探讨相应的误差分析.

基于离散余弦变换的积分因子方法求解非线性Allen-Cahn方程

非线性Allen-Cahn方程在材料学、生物学、化学等许多科学领域有着广泛的应用,是相场模拟模型的一类重要方程,该方程描述的是二元合金在一定温度下进行相位分离的过程。首先针对齐次Neumann边界条件下的Allen-Cahn方程应用有限差分方法进行离散,将离散后得到的差分矩阵对角化,得到相应的特征值和特征向量;接着,利用Kronecker积写出二维拉普拉斯算子的微分矩阵,得到一组非线性常微分方程组;然后,发展积分因子方法进行时间离散,且在时间离散的具体实现过程中,结合快速离散余弦变换进行求解,提高了计算效率;最后,给出数值试验。数值结果显示,提出的方法能快速地得到方程的数值解,得到随时间推移数值结果形状的变化规律,该方法准确有效。

基于抛物线插值的Allen-Cahn方程时间两重网格有限元算法

本文运用抛物线插值的时间两重网格(TT-M)有限元(FE)算法求解非线性Allen-Cahn方程.首先,对非线性Allen-Cahn方程,在空间和时间上分别采用有限元方法以及二阶θ格式进行离散.其次,使用抛物线插值的时间两重网格有限元算法求解Allen-Cahn方程.同时,在粗细时间步长上,对数值解进行了稳定性分析和误差估计.最后,通过数值实验验证方法的有效性.

空间分数阶Allen-Cahn方程的高效算子分裂格式

基于算子分裂思想,将空间分数阶Allen-Cahn方程分解为非线性方程和分数阶热传导方程,其中,非线性方程有解析解,分数阶热传导方程可利用生成函数的方法结合Crank-Nicolson格式建立差分格式.通过数值算例验证格式的有效性.结果表明:空间分数阶Allen-Cahn方程的高效算子分裂格式具有稳定性、收敛性及有效性.