一类具有复杂执行器动态的双曲线型偏微分方程输出调节

本文研究了一类具有边界执行器动态特性的双曲线型偏微分方程(Partial differential equation, PDE)系统的输出调节问题.特别地,执行器由一组非线性常微分方程(Ordinary differential equation, ODE)描述,控制输入出现在执行器的一端而非直接作用在PDE系统上,这使得控制任务变得相当困难.基于几何设计方法和有限维与无限维反步法,本文提出了显式表达的输出调节器,实现了该类系统的扰动补偿及跟踪控制.并且我们采用Lyapunov稳定性理论严格证明了闭环系统及跟踪误差在范数意义上的指数稳定性.仿真实例对比验证了所提出控制方法的有效性.

偏微分方程数值解课程思政教学研究与实践

课程思政教育的目的在于培养德才兼备的大学生,使其具备坚定的政治立场、良好的专业能力和一定的创新实践能力。偏微分方程数值解是计算数学专业的重要专业课程之一,具有理论复杂、实践性强的特点。该文分析课程教学及学生学习中存在的问题,介绍偏微分方程数值解课程思政教育的必要性,基于西北工业大学数学专业本科生与理工科研究生在本课程教学内容、教学模式等方面的研究与实践获得的成效,初步探索基于思政教育的教学实践策略,可以为该课程的思政教育提供一定借鉴。

自适应分数阶偏微分方程修正模型的能量泛函及Euler-Lagrange方程研究

首先对分数阶微分方程进行构建,结合全变分项,提出了修正的自适应分数阶偏微分方程模型。研究首先确定出分数阶偏分去噪模型的最优分数阶数,当分数阶次为1.8时,峰值信噪比和结构相似度达到33.12和0.874,均方根误差降低至5.62。然后将研究提出的模型与全变分模型、分数阶偏分去噪模型等在图像上进行对比实验,研究提出的模型在峰值信噪比、结构相似度上达到最高,分别为29.045与0.839,均方根误差为9.427,表明模型能够抑制阶梯效应,具有优越的去噪性能。

基于谱方法和单纯形算法的一类偏微分方程参数反演研究

根据观测数据反演偏微分方程参数具有重要的应用价值。通过基于快速傅立叶变换的谱方法实现对偏微分方程快速高精度求解,与观测数据结合建立待优化的目标函数,再用带边界约束的Nelder-Mead单纯形优化方法进行参数反演。通过算例证实了算法的有效性。

几类二次三项式偏微分方程的整函数解

文章主要运用值分布和偏微分方程特征方程方法研究了几类一阶、二阶以及混合型偏微分方程的整函数解,获得了涉及几类二次三项式偏微分方程有限级超越整函数解的存在性及其形式,推广了先前的结果,同时举例说明所得方程解的形式是准确的.

含椭圆算子的反射随机偏微分方程

本文考虑一类含椭圆算子的多维反射随机偏微分方程,其解被限制在一个有界凸区域内.本文将利用惩罚法建立其解的存在唯一性定理.

基于改进欧拉法的非线性偏微分方程神经网络求解器

针对一般深度学习方法求解非线性偏微分方程时泛化能力差的问题,提出一种使用改进欧拉法联通网络模块的长短期卷积循环神经网络.该神经网络的构建运用改进欧拉法和有限差分法,通过改进欧拉法实现网络中模块之间的有效连接.基于有限差分法构建的卷积核实现偏微分方程中涉及的导数项的精确近似,并在Burgers方程和λ-ω反应扩散方程上进行仿真实验.实验结果证明,该方法不但在训练数据上具有很高的精度,而且在外推到新领域时也表现出较强的泛化能力.

基于Runge-Kutta的自回归物理信息神经网络求解偏微分方程

物理信息神经网络离散时间模型(PINN-RK)是深度学习技术与龙格库塔方法相结合的产物,在求解偏微分方程时具有非常出色的稳定性和较高的求解精度.但是,受到龙格库塔算法本身的限制,PINN-RK模型仅能实现单步时间预测,且计算效率较低.因此,为了实现多时间步长预测和提高模型的计算效率,提出了一种基于龙格库塔法的自回归物理信息神经网络模型(SR-PINN-RK).该模型基于自回归时间步进机制,改进了神经网络的训练流程和网络结构,相比PINN-RK模型,大幅减少了神经网络的训练参数,提高了模型的计算效率.此外,在自回归机制的作用下,该模型通过对标签数据的动态更新,成功实现了对偏微分方程解的多时间步长预测.为了验证文中模型的求解精度和计算效率,分别求解了Allen-Cahn方程和Burgers方程,并与文献中的基准解进行了对比.结果表明,模型预测解与基准解之间具有很高的一致性,求解Allen-Cahn方程和Burgers方程的最大相对误差均低于0.009.

空间分数阶偏微分方程非标准有限差分方法的稳定性和收敛性

本文研究空间分数阶偏微分方程非标准有限差分方法数值解的相关问题.采用Grünwald-Letnikov公式和平移Grünwald-Letnikov公式分别对两个空间分数阶导数进行离散.再运用带有时间和空间步长的分母函数构造非标准有限差分方法.进而利用von Neumann分析方法对差分格式的稳定性和收敛性进行研究,获得了一些新的结果.数值例子验证了非标准有限差分方法用于求解空间分数阶偏微分方程的有效性.

一种土地沙化动力学偏微分方程模型

土地沙化一直是全球关注的焦点,土地沙化的治理是当今迫切要解决的问题之一。随着人们不合理开发,开采,以及自然因素干旱,土地沙化区域逐步加大,速度也越来越快,人类面临的问题,如何保护植被,防止沙化。治沙一直是国家关注的焦点,重点。我们要不断地科学地进行沙化治理。近年来,各沙化地区尝试着治理,取得一些重要成效。鄂尔多斯地区在沙化治理方程取得重要成效。库布齐沙漠治理方式成为全球学习治沙方式。但是我们还要不断创新完善治沙模式,提高治沙综合效益。用数学方法来研究治沙,来提高治沙综合效益。

基于热传导偏微分方程的微纳星群迁移控制

面向分布式星群在侦查监测,攻防作战等未来空间任务中的潜在应用,在偏微分动力学框架下,提出一种基于热传导特性的星群时空分布演化控制方法。通过类比热力学,以星群整体密度分布为参量,利用热传导偏微分方程描述星群宏观空间密度分布及其随时空的演化模型;基于热扩散机理构建速度场函数以实现集群期望密度分布的迁移控制,并分析论证了基于速度场反馈控制的渐近收敛性和稳定性;分别在一维空间与二维空间中模拟微纳星群迁移控制场景,分别利用Richardson外推法与交替方向隐式格式数值求解一维与二维热传导方程初边值问题,结果表明:所提方法有效收敛,星群迁移前期收敛速度快,在有限时间内可生成所需的密度分布。

高阶复偏微分方程的两类边值问题

利用C中的Gauss定理和Cauchuy-pompeiu公式,讨论单位圆盘上关于高阶复偏微分方程的Dirichlet问题和Neumann问题,从而得到解的积分表示和相应的可解条件,并由此得到关于多全纯函数边值问题的相关结论.

高阶复偏微分方程的Rubin问题

利用复平面上Cauchy型奇异积分算子的性质,在一阶Dirichlet边值问题的基础上,讨论了单位圆盘上解析函数的Rubin问题,并在此基础上研究了关于高阶复偏微分方程的Rubin问题,从而得到其解的积分表示和相应的可解条件.

带脉冲的多时滞分数阶阻尼偏微分方程解的强迫振动性

利用微分不等式方法,在Robin和Dirichlet边界条件下,建立了带阻尼项的脉冲多时滞分数阶偏微分方程解的强迫振动性的一些充分条件,并举出一个实例验证了主要结果的有效性.

时空分数阶扩散偏微分方程的谱方法

扩散方程是物理学建模最基本的方程之一。研究时空分数阶扩散偏微分方程的谱方法数值求解,时间方向采用Caputo分数阶导数的L1插值逼近格式,构造了原方程在时间方向上的半离散格式,证明了半离散格式解的存在唯一性和稳定性,并给出了误差分析方面结论的相关证明。在半离散格式的基础上,空间方向采用Legendre谱方法离散得到原方程的全离散格式,进一步证明了此全离散格式的解存在且唯一,而是无条件稳定的,并严格证明了数值解与精确解之间的误差方面的结论。

三类非线性偏微分方程(组)的守恒律

非线性偏微分方程在多个学科领域中扮演着关键角色,其守恒律的求解是研究的核心之一。基于Lie对称性,并结合Maple等数学软件,应用对称-共轭对称‘对’方法和Ibragimov新守恒定理,推导不同方程的守恒律。通过比较这2种方法在同一方程上的应用结果,总结了各自的优势和适用性,从而为实际问题选择合适的求解策略提供了有价值的结论。

一类带加性噪声的随机偏微分方程在不同相空间中的中心流形

研究一类带加性噪声的随机偏微分方程在不同相空间中的中心流形的存在性.通过引入随机变换的方法处理噪声项,得到随机偏微分方程的解,生成随机动力系统,再通过Lyapunov-Perron方法证明中心流形的存在性.

反射偏微分方程解的惩罚近似

本文研究了一类二阶非线性抛物型偏微分方程反射问题,通过构造反射项的近似形式,给出了此反射方程的近似方程,即反射偏微分方程的惩罚方程。为了弱化条件,我们引入与反射问题等价的变分不等式问题,证明了惩罚方程的解收敛于变分不等式问题的解,此外由于反射项近似的特殊性,我们得到了其收敛速度,并且可以通过调整惩罚方程中的参数来控制反射方程解的精度。

求解非线性偏微分方程的高斯过程方法

非线性偏微分方程(NPDEs)的求解在流体力学、金融数学等领域中具有广泛的应用。鉴于NPDEs通常难以求得解析解,本文详细探讨了基于高斯过程的偏微分方程求解方法:GPPDE方法和TD-GPsolver方法。考虑到NPDEs的非线性系统复杂性,我们将GPPDE方法和TD-GPsolver方法扩展至两种代表性的非线性偏微分方程——Allen-Cahn方程和Cahn-Hilliard方程,并与物理信息神经网络方法(PINN)进行对比,评估这些方法在不同离散化条件下的表现。结果表明,TD-GPsolver方法在处理大规模离散化数据集时不仅展现了较高的计算效率和稳定性,而且能够维持较低的误差率,GPPDE方法在处理小规模数据集时能提供较高精度,确保了计算效率和精度的平衡。PINN方法在高离散点设置下能显著提升数值精度,但其较长的计算时间限制了其实用性。

求解偏微分方程的深度学习方法概述

数值求解偏微分方程是多学科计算领域共同关注的一项基础科学课题。近年来,神经网络的深度学习方法得到了大力的发展,这一方法也被引入求解偏微分方程这一领域,逐渐成为了科学计算领域的研究热点之一。为此,本文介绍了近些年求解偏微分方程的一些深度学习方法,将这些深度学习方法从数学角度分为函数学习类方法和算子类学习方法。本文将对这两类深度学习方法的研究现状进行梳理以及总结,同时还简要介绍了目前深度学习方法在求解偏微分方程中遇到的一些困难和挑战,并对可能的研究趋势和方向进行了预测。