A Relaxed Greedy Block Kaczmarz Method for Solving Large Consistent Linear Systems

Many problems in science and engineering require solving large consistent linear systems. This paper presents a relaxed greedy block Kaczmarz method (RGBK) and an accelerated greedy block Kaczmarz method (AGBK) for solving large-size consistent linear systems. The RGBK algorithm extends the greedy block Kaczmarz algorithm (GBK) presented by Niu and Zheng in [1] by introducing a relaxation parameter to the iteration formulation of GBK, and the AGBK algorithm uses different iterative update rules to minimize the running time. The convergence of the RGBK is proved and a method to determine an optimal parameter is provided. Several examples are presented to show the effectiveness of the proposed methods for overdetermined and underdetermined consistent linear systems with dense and sparse coefficient matrix.

基于Kaczmarz算法的磁粒子成像快速重建算法研究

目的:为了解决磁粒子断层成像中系统矩阵方法成像时间长、计算复杂的问题,提出一种基于Kaczmarz算法的磁粒子成像快速重建算法。方法:首先,分析经典Kaczmarz算法及其变体算法的收敛速度,并计算在任意矩阵下的迭代次数和计算时间;其次,比较欧氏距离和余弦距离对系统数据的区分能力,并运用基于余弦距离的K-means算法来增强块Kaczmarz算法的运算能力,缩短系统矩阵重建时间并最终实现磁粒子成像快速重建。最后,通过计算机仿真实验验证提出的算法的有效性。结果:提出的算法大幅缩短了重建时间,提高了重建图像的空间分辨力和质量。结论:提出的算法可以实现磁粒子成像的快速重建,并且在处理含有噪声的数据时具备较强的重建能力。

基于残差驱动的块Kaczmarz算法研究

针对大型稀疏线性方程组求解问题,本文以块Kaczmarz方法的思想为基础,提出了一种新的随机块Kaczmarz算法一随机贪婪残差块Kaczmarz(GREBK(k))算法.首先,利用K-means聚类算法对标准化残差进行聚类分块,获得系数矩阵中对应的行分块策略;针对上述分块方式,再进行随机贪婪块Kaczmarz方法求解。相关理论分析证明了该算法的收敛性,最后,数值实验表明GREBK(k)算法改进了目前现有相关结果,是一种行之有效的数值方法.

求解大规模线性方程组的高斯混合模型的随机平均块Kaczmarz方法

块Kaczmarz方法是求解大规模线性方程组的一种迭代算法.在每次迭代时,会将当前迭代点正交投影到约束子集的解空间.文章基于块Kaczmarz方法的原理,提出了高斯混合模型的随机块Kaczmarz方法(GMM-RBK(k)).其中块的划分是通过高斯混合模型进行划分的.为了避免伪逆的计算或者最小二乘问题的求解,提出了高斯混合模型的随机平均块Kaczmarz方法(GMM-RABK(k)).证明了当线性方程组是相容时,这两种算法是收敛的,并给出相应的收敛率公式.在最后的数值实验中也证实了GMM-RBK(k)方法和GMM-RABK(k)方法的有效性,且无伪逆GMM-RABK(k)方法要优于GMM-RBK(k)方法.