极小曲面的Weierstrass表示与建筑造型

极小曲面广泛存在于自然界中,是平均曲率处处为0的一类重要曲面。其上含有多种相容的数学结构,可用不同的数学观点、方法来处理。局部上极小曲面定义为面积泛函的临界点,用变分方程或等价的欧拉—拉格朗日方程(二阶椭圆偏微分方程)表达。可用微分方程求其解析介或近似介,也可用变分方程求其近似介。极小映射是两个黎曼流形间的特殊映射,Weierstrass抛弃面积概念,从另外一个角度给出了极小曲面方程的通解。采用极小曲面Weierstrass表示,借助于计算机绘图技术可以获得各种精美的极小曲面图形。极小曲面在拓扑上可以有随心所欲的复杂,在几何上可以有令人难以琢磨的对称。这些图形在银屏上未显示前,大多无法事先想象出来。作为应用本文绘制了实射影平面在三维欧氏空间的最佳浸入Boy’s曲面的图形。还讨论了几种用极小曲面或调和曲面造型的建筑。