Banach空间中C^∞函数芽等价的矩阵刻画

在Banach空间X的C∞ 函数芽环E(X)中 ,任何在原点 0 ∈X的函数芽右等价的概念是奇点理论中研究的重要内容。本文给出了两个C∞ 函数芽在右等价条件下的一个矩阵刻画。

C^∞函数芽k完备的计算

在C∞函数芽的有限决定性理论中,如果芽f是k完备:Mk■MJ(f),则f必有限k—决定.然而,给定一个芽f,去验证f是k完备的并找出满足条件Mk■MJ(f)的最小正整数k是实际计算中的一个困难.我们将应用C∞函数芽环中的有限余维理想的某些性质和Nakayam a引理去得出这一抽象的代数条件的计算方法.实例表明:在通常情况下,我们提出的方法是有效的。

Banach空间中一类C^∞函数芽的分裂引理

分裂引理是突变论的基本定理。文［１］给出了Ｈｉｌｂｅｒ对空间中一类Ｃ~∞函数芽相应的结论。继［１］，我们将证明自反Ｂａｎａｃｈ空间中这类Ｃ~∞函数芽的分裂引理。

一个在球面上定义的C^∞—函数

本文在给出简单曲面上的Ｃ∞级函数定义的基础上。

同构于三阶及四阶Hessain的两个变元的C~∞函数芽

设En是在0∈Rn的C∞函数芽环，M是En中唯一的极大理想．如果f∈M2且其二阶Hessain是非退化的，则f同构于它的二阶Hessain是非退化的，则f同构于它的二阶Hessain，这就是著名的Morse引理．本文将讨论两个变元的C∞函数芽，得到：（1）若f∈M3Exy，且其三阶Hessain是非退化的，则f同构于它的三阶Hessain．（2）若f∈MEXy，其四阶Hessain是非退化的，则f同构于它的四阶Hessain．显然，这是Morse引理的一种推广．

m（n）^∞的代数性质及其应用

在o∈Rn的C∞函数芽环En中，存在一类称为平坦的芽，表示为m（n）∞：一个芽f称为平坦的，如果f（o）以及其各阶偏导数在原点都是零．本文系统讨论了m（n）∞的代数性质，作为应用给出了这类芽的一些有用的分析性质．

整体的E.Borel定理

E．Borel定理是局部奇点理论中的一个重要结论：若给定C~∞函数芽的序列则存在－C~∞函数芽，使得文将推广这一定理，得到关于在整个空间上的C~∞函数的相应的整体结果：给定在R^n的－C~∞函数列，存在R^n×R上的－C~∞函数f:R^n×R→R。

关于右等价的几个重要结果

C∞ 函数芽右等价的概念是奇点理论中研究的重要内容 ,本文讨论了Morse多项式右等价的几种形式 ,得到了关于右等价的几个重要结果。

Morse引理的进一步推广

设En是0∈R^n的C^∞函数环，M是En中唯一的极大理想，如果f∈M^2，其二阶Hessain是非退化 ，则f同构于其二阶Hessain，这就是著名的Morse引理。本节将讨论两个变元 的C^∞函数芽。得到：（1）若f∈M^2k+1包含于Exy，其中2k+1阶Hessain是非退化的，在一般情况下不会同构于它的2K+1阶Hessaibn，但给f加上一定条件后，则f同构于它的2K+1阶Hessain。（2）若f∈M^2k+2包含于Exy,其2k+2阶Hessain是非退化的，在一般情况下f不会同构于它的2k+2阶Hessain，但给f加上一定条件后，f同构于它的2k+2阶Hessain，其中k∈N。当k=1时，就是参考文献^[2]的结论，这在某种意义上来说是他的结论的进一步推广。

The C-G coefficients for the space group D_6~1h

In this paper, the eigenfunction method established by Chen Jin-quan is used to compute the C-G coefficients in regard to the coupling between symmetry points and lines in the first Brillouin zone of the structure D6h^1, space group. Therewith, the wave vector selection rule and the C-G series, are also given as the middle result of computing the C-G coefficients.

HYERS—ULAM—RASSIAS STABILITY OF QUADRATIC FUNCTIONAL EQUATIONS IN BANACH MODULES OVER A C^＊—ALGEBRA

The authors prove the Hyers-Ulam-Rassias stability of the quadratic mapping in Banachmodules over a unital C*-algebra, and prove the Hyers-Ulam-Rassias stability of the quadraticmapping in Banach modules over a unital Banach algebra.

Isotopic Effects on Stereodynamics of the C^+ + H_2→CH^+ + H Reaction

The effects of isotope substitution on stereodynamic properties for the reactions C^+ + H_2/HD/HT →CH^+ + H/D/T have been studied applying a quasi classical trajectory method occurring on the new ground state CH_2^+ potential energy surface [J. Chem. Phys. 142(2015) 124302]. In the center of mass coordinates applying the quasi classical trajectory method to investigate the orientation and the alignment of the product molecule. Differential cross section and three angle distribution functions P(θ_r), P(ф_r), P(θ_r, ф_r) on the potential energy surface that fixed the collision energy with a value is 40 kcal/mol have been studied. The isotope effect becomes more and more important with the reagent molecules H_2 changing into HD and HT. P(θ_r, ф_r) as the joint probability density function of both polar angles θ_r and ф_r, which can illustrate more detailed dynamics information. The isotope effect is obvious influence on the properties of stereodynamics in the reactions of C^+ + H_2/HD/HT → CH^+ + H/D/T.

Morse引理的一个推广

设Ｅｎ是在０∈Ｒ~ｎ的Ｃ函数芽环，Ｍ是Ｅ_ｎ中唯一的极大理想．如果ｆ∈Ｍ~２且其二阶Ｈｅｓｓａｉｎ是非退化的，则ｆ同构于它的二阶Ｈｅｓｓａｉｎ，这就是著名的Ｍｏｒｓｅ引理，本文将讨论两个变元的Ｃ~∞函数芽，得到：（１）若ｆ∈Ｍ~３∈Ｅ_(ｘｙ)，且其三阶Ｈｅｓｓａｉｎ是非退化的，则ｆ同构于它的三阶Ｈｅｓｓａｉｎ。 （２）若ｆ∈Ｍ_４∈Ｅ_(ｘｙ)，其四阶Ｈｅｓｓａｉｎ是非退化的，则ｆ同构于它的四阶Ｈｅｓｓａｉｎ．显然，这是Ｍｏｒｓｅ引理的一种推广．

Smoothness for the collision local times of bifractional Brownian motions

Let B^Hi,Ki ={ Bt^Hi,Ki, t ≥ 0}, i= 1, 2 be two independent bifractional Brownian motions with respective indices Hi ∈ （0, 1） and K∈ E （0, 1]. One of the main motivations of this paper is to investigate f0^Tδ（Bs^H1 ,K1 - the smoothness of the collision local time, introduced by Jiang and Wang in 2009, IT = f0^T δ（Bs^H1,K1）ds, T 〉 0, where 6 denotes the Dirac delta function. By an elementary method, we show that iT is smooth in the sense of the Meyer-Watanabe if and only if min{H-1K1, H2K2} 〈-1/3.

Generic twisted T -adic exponential sums of binomials

The twisted T -adic exponential sum associated with xd + λx is studied. If λ = 0, then an explicitarithmetic polygon is proved to be the Newton polygon of the C-function of the twisted T-adic exponential sum.It gives the Newton polygons of the L-functions of twisted p-power order exponential sums.