几类基于Cauchy矩阵的变系数线性差分方程组的稳定性条件

讨论了几类变系数线性差分方程组的 Cauchy矩阵的表达式和它的范数估计式 。

关于Cauchy矩阵和Loewner矩阵的行列式(英文)

本文给出了Cauchy矩阵与Loewner矩阵行列式的计算公式,所采用的主要方法是将Cauchy矩阵与Loewner矩阵的行列式的计算归结为某一Hankel矩阵的行列式的计算。

Cauchy矩阵Moore-Penrose逆的快速算法

给出了求以秩为n的m×n阶Cauchy矩阵Moore-Penrose逆的快速算法,该算法的计算复杂度为O(mn)+O(n2)。而用C+=(CTC)-1CT求解C+时所需的运算量为O(mn2)+O(n3)

一类Cauchy矩阵正定性的另一证明

给出一类Ｃａｕｃｈｙ 矩阵正定性的另一个证明方法。

基于Cauchy矩阵的线性变换的研究

P-置换是实现分组密码扩散原则的关键组件。一般来说,分支数越大,扩散效果越明显。人们利用MDS矩阵设计最优线性变换作为分组密码组件的扩散层。在达到最优线性变换的同时,针对扩散矩阵还应满足矩阵中元素尽量少的要求,对Cauchy型MDS矩阵分别与Hadmard矩阵和循环移位矩阵的相互结合方式构造最优线性层的方法进行了研究。对Cauchy-Hadmard矩阵(同时是Cauchy矩阵和Hadmard矩阵)构造线性变换的一种方法进行了分析,给出了算法的C语言的关键程序,根据算法给出了一个最优线性变换的示例;对循环移位矩阵构造Cauchy矩阵进行了尝试和证明。结果显示Cauchy-Hadmard矩阵满足矩阵元素最少和运算复杂度低的要求,利用循环移位矩阵无法构造出Cauchy矩阵。这些结论为设计分组密码组件的扩散层提供了重要的方法参考。

非自治ABS链方程的精确解:广义Cauchy矩阵方法（英文）

首先将Cauchy矩阵方法应用于非自治链系统,得到非自治Nijhoff-Quispel-Capel(NQC)方程及其精确解.这些解可以通过非自治离散色散关系和一个一般的带有任意常系数矩阵K的Sylvester方程来描述.然后建立了非自治NQC方程与非自治Adler-BobenkoSuris(ABS)链方程中Q3的联系,描述了非自治Q3方程与非自治ABS链中Q2,Q1,H3,H2,和H1方程之间的退化关系.这些联系与自治情形相似.最后利用方程间的退化关系,从非自治Q3方程的解得到了非自治Q2,Q1,H3,H2,和H1方程的解.论文实现了Cauchy矩阵方法的非自治化,给出了非自治ABS链方程之间的退化联系,对进一步研究非自治离散模型具有实际意义.

面向结构矩阵的可扩展并行矩阵乘算法框架

结构矩阵在科学计算和工程应用中具有重要作用,例如Cauchy、Toeplitz、Vandermonde和Hankel矩阵等。虽然这些矩阵都是稠密的,但只需要O(n)个参数(生成元)就可以表示,其中n为矩阵的维数。提出了面向结构矩阵的可扩展并行矩阵乘算法框架,利用矩阵生成元显式地构造各进程的局部矩阵块,从而减少通信开销;同时利用矩阵块的数值低秩性,进一步降低计算开销。因此,该算法框架可同时降低计算量和通信量,适用于Cannon、Fox和PUMMA等矩阵乘算法。在天河2巨型机上进行了大量的数值测试,测试结果表明,该算法可获得相对ScaLAPACK中的PDGEMM函数的8.96倍加速。

Cauchy矩阵及其相关的插值问题

用复分析和矩阵方程理论给出C auchy矩阵求逆公式的一种新证明.作为应用,研究与H erm ite-C auchy矩阵相关的N evan linna-P ick插值问题,给出该插值问题全部解的简洁表示.

带重点的广义Cauchy矩阵及其相关问题

本文详细讨论了带重点的广义Cauchy矩阵的位移结构、快速求逆公式、可逆性判别条件及其与矩阵有理切插值问题的关系,并给出了求解此类矩阵的线性方程组的快速算法,推广了文[1]和[2]的结果.

对合Cauchy-Hadamard型MDS矩阵的构造

MDS矩阵和对合MDS矩阵在分组密码中有广泛应用。该文将考察同时是Hadamard矩阵和Cauchy矩阵的那些MDS矩阵,给出了这类矩阵的结构、构造方法和个数,从而得到了MDS矩阵一种新的构造方法。该文还证明了Cauchy-Hadamard型MDS矩阵都等效于对合的Cauchy-Hadamard型MDS矩阵,并给出了由Cauchy-Hadamard型MDS矩阵构造对合的Cauchy-Hadamard型MDS矩阵的方法。

一类Cauchy型矩阵的惯性问题

借助于关于Hermite矩阵惯性问题的Jacobi法则,在讨论一类Cauchy型矩阵R和R的行列式的基础上,给出该类型矩阵正、负特征值个数与其生成元素在复平面分布位置的有关结论.

Cauchy型矩阵Moore-Penrose逆的快速算法

给出了求以秩为n的m×nCauchy型矩阵Moore-Penrose逆的快速算法,该算法的计算复杂度为O(mn)+O(n^2).

Cauchy型矩阵的左逆及右逆

通过方程组是否有解,给出了m×n阶Cauchy型矩阵左逆及右逆的一种求逆公式。

关于Vandermonde矩阵及其行列式的注记

给出Vandermonde矩阵及其行列式的若干应用,揭示它在高等代数和矩阵分析等方面的重要地位.具体来说,运用Vandermonde行列式来计算几个与之相关的行列式,运用线性方程组来证明组合恒等式,给出两个特殊的Vandermonde矩阵的应用,特别是用Schur矩阵给出了樊畿不等式的一个证明,给出了Vandermonde矩阵与Cauchy矩阵的一个恒等式.

分组密码Cauchy型MDS扩散结构的几点注记

MDS矩阵是设计分组密码扩散结构的一种重要手段,由有序数组生成的Cauchy矩阵是一类基本的MDS矩阵.本文给出了两个有序数组生成的Cauchy矩阵相同的充要条件,证明了有限域上Cauchy矩阵的个数,证明了Cauchy矩阵一定不是循环移位矩阵;给出了Cauchy矩阵的不同元素个数达到最小值的充要条件,给出了使不同元素个数达到最少,同时1的个数达到最多的Cauchy矩阵的构造方法.此外,本文还提出了对合Cauchy矩阵的一种构造方法.

Cauchy方程组极小范数最小二乘解的快速算法

对于秩为n的m×n阶Cauchy矩阵C,通过构造特殊分块矩阵并研究其逆矩阵的三角分解,进而间接地得到了线性方程组Cx=b的极小范数最小二乘解的显式表达式及其快速算法,所需运算量为O(mn)+O(n2),而通常构造法方程组的方法所需运算量为O(mn2)+O(n3),用正交化法虽然避免了构造法方程组,但所需的运算量更大些.

带重点的多项式Vandermonde型矩阵位移结构与快速求逆公式

讨论带重点的多项式Vandermonde型矩阵的位移结构、快速求逆公式及相关问题 ,推广了单点情形的主要结果 .

一类循环MDS矩阵的构造及计数

MDS矩阵是密码算法的主要扩散部件之一,具有最大的差分分支数和线性分支数。基于Cauchy矩阵的构造方法提出了一种循环MDS矩阵的构造方法,并给出了该类MDS矩阵的计数结果和相应实例。该类循环MDS矩阵能够快速有效地实现,可以为实际应用中的算法设计提供大量的循环MDS矩阵。

Cauchy方程组极小范数最小二乘解的快速算法

给出了求以秩为n的m×n阶Cauchy矩阵为系数矩阵的线性方程组极小范数最小二乘解的快速算法.

两类特殊矩阵求逆公式的简易推导

巧妙地利用Lagrange插值多项式,给出了Vandermonde矩阵和Cauchy矩阵的逆矩阵显式公式的简易推导,避免了用传统的伴随矩阵方法来推导这两类特殊矩阵逆矩阵的公式的繁复计算.