整数集的特定数之和引发的两个组合恒等式

研究集合{1,2,…,n}的所有r元子集的最小元素和与最大元素和的组合特性,发现了两个新的组合恒等式,并给出了证明,其探索发现过程为数学教学研究提供了新视角.通过引导学生探索此类问题,能激发他们的创造性和逻辑思维,进而提升他们的数学核心素养.

构造离散函数证明组合恒等式

表示组合数之间关系的恒等式称为组合恒等式,它们从一个侧面反映出整数的一些基本性质,其中有不少重要的组合恒等式已成为研究数论、级数和其他数学分支的基础.组合恒等式也是组合数学理论的重要组成部分。组合恒等式的证明往往有较强的技巧[1-3].本文通过构造特殊离散函数,用两种不同的思考方法计算同一类特殊离散函数的个数,从而得到四个组合恒等式.

与有序分拆的分部量1相关的恒等式及组合证明

研究了正整数的分部量1在首、末两端的有序分拆,给出了此类有序分拆数与Fibonacci数之间的关系式。利用熟知的与Fibonacci数相关的有序分拆恒等式,得到几个新的分拆恒等式,并给出了组合双射证明。

孪生组合恒等式(二)

主要研讨对数类型的孪生组合恒等式，这批成双出现的新结果，与著名的Ｆｉｂｏｎａｃｉ数列、Ｂｅｒｎｏｕｌｉ数。

孪生组合恒等式(三)

主要研讨指数类型的孪生组合恒等式．

孪生组合恒等式(六)——三角类型

通过形式幂级数的三角运算 ,建立 2个孪生组合恒等式定理 。

格链和组合恒等式

研究在给定长度下由格点构成的链的数目，并给出了关联函数的任意次幂的计算公式。利用序关系的对称性以及生成函数技巧，建立了对称型和Ｖａｎｄｅｒｍｏｎｄｅ型组合恒等式，推广了有关格路计数的结果。

两个组合恒等式的概率证明

给出了两个组合恒等式的概率证明 。

孪生组合恒等式(十六)——混合类型

孪生组合恒等式的混合类型简称孪生混合恒等式,这里每个恒等式中包含2种组合记号n与n,获得3组孪生混合恒等式.

孪生组合恒等式(十二)——第2类Stirling数类型

叙述2组第2类Stirling数类型的孪生恒等式,第1组含有Bernoulli数与第2类Stirling 数,第2组含有Euler数与第2类Stirling数,运用形式幂级数运算给出证明.

组合数的一系列推广的组合恒等式

利用常见的两个组合恒等式以及初等方法,得出了4个有规律的组合数倒数的组合恒等式,以及两个重要推论,即无限求和公式和简单组合公式。

组合恒等式的两种新证法

组合恒等式在组合数学中占有重要地位,它有多种证法.本文舍弃了它的常见证法,另外运用了求导法则和概率方法对几个重要的组合恒等式给出了直观简洁的证明.

孪生组合恒等式(四)

通过形式幂级数Ａ的幂运算，建立了Ａｒ的展开式，这里ｒ为非零实数，这是常见的多项式定理的推广．如果幂级数∑ａｎｘｎ与∑ｂｎｘｎ满足条件（∑ａｎｘｎ）ｒ＝∑ｂｎｘｎ 时，获得数列｛ａｎ｝与｛ｂｎ｝之间孪生组合恒等式的定理，应用在二项式定理等展开式上得出具体的多组孪生组合恒等式，其中包含组合数（ｒｓｎ）的两种展开法，Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数直接表达式的新证等结果．

孪生组合恒等式(八)——分割类型

建立分割类型的2个定理,获得4组与二项式定理展开式中系数,有关的孪生组合恒等式.

量子计算中的六个组合恒等式的证明

证明了量子计算中出现的六个组合恒等式。

孪生组合恒等式(九)——等价类型

等价类型的孪生组合恒等式分为直接等价、间接等价以及自身等价等3种,每种各举2例,其中包含重要公式n r+n-1r=n-1r-1的等价公式.

孪生组合恒等式(十五)——对应类型

全文分为两部分:第1部分是圆组合新概念;第2部分是组合恒等式对应圆组合恒等式组成的7组孪生组合恒等式.

数学娱乐(十四)——圆组合新概念与圆组合恒等式

圆组合新概念来源于"夫妻问题"[1],圆组合研究的重点是圆组合恒等式.

孪生组合恒等式(十四)——幂级数类型

通过两类孪生幂级数,应用Fibonacci数和Lucas数的性质,获得8组孪生组合恒等式.

孪生组合恒等式(十一)——级数类型

数论上的Fibonacci数与Lucas数和无穷级数的知识相结合获得孪生幂级数定理以及6组孪生组合恒等式.