应用线性方程组理论证明矩阵秩的性质

利用矩阵秩的定义证明矩阵秩的性质时,需要使用行列式的性质,证明过程较为复杂。线性方程组解的理论与矩阵秩的内在联系,使得用线性方程组解的理论证明矩阵秩的性质成为可能。应用线性方程组解的理论,可将矩阵秩的等式证明转化为线性方程组解空间相等的证明;将矩阵秩的不等式的证明转化为解空间包含的证明。从行列式性质法的证明转化为集合间关系的证明,不仅简化了矩阵秩的性质的证明,而且证明过程便于理解。

一类二次矩阵方程的牛顿迭代法及其收敛性

二次矩阵方程是科学与工程计算中一类重要的方程,探讨有效的数值方法是一项有意义的工作,拟生灭过程在股价模拟、库存控制、排队论等很多领域都有着重要的应用,对一类来源于拟生灭过程的特殊的二次矩阵方程进行了研究。在最小非负解存在且唯一的假设条件下,提出了牛顿迭代法并证明其收敛性。当初始矩阵取零矩阵时,牛顿迭代法产生的矩阵列收敛到方程的唯一最小非负解。最后通过数值例子验证算法的有效性与可行性。

矩阵奇异值分解与非齐次线性方程组系数矩阵的广义逆求解

非齐次线性方程组在多数实际工程反演问题中较为常见,对其进行有效地求解是解决实际反演问题的关键,本文通过对方程组系数矩阵进行奇异值分解,推导非齐次线性方程组系数矩阵的广义逆求解过程,给出具体的求解方法和实现步骤,使得求解算法更容易进行计算机编程.

基于矩阵半张量积解四元数广义Sylvester矩阵方程组

该文利用矩阵半张量积求解四元数广义Sylvester矩阵方程组.首先将实矩阵半张量积运算推广到四元数矩阵,进而利用四元数矩阵半张量积提出四元数矩阵在向量算子下的一些新结论,利用这些结论将四元数矩阵方程组转化为四元数线性方程组,最后转化为实线性方程组,从而得到四元数广义Sylvester矩阵方程组有解的充要条件及通解表达式,并给出其极小范数解.最后通过数值算例说明该方法的有效性.

四元数矩阵方程(A_(1)XB_(1),…,A_(k)XB_(k))=(C_(1),…,C_(k))的极小范数最小二乘Toeplitz解

基于四元数矩阵实表示,结合矩阵H-表示和矩阵半张量积提出一种求解四元数矩阵方程(A_(1)XB_(1),…,A_(k)XB_(k))=(C_(1),…,C_(k))的极小范数最小二乘Toeplitz解的有效方法,给出该四元数矩阵方程存在Toeplitz解的充要条件及通解表达式.给出数值算法并通过算例分别从误差与计算时间两个方面验证该方法的有效性.

求解Lyapunov矩阵方程的梯度优化算法

通过Kronecker积将Lyapunov矩阵方程的求解问题转化为优化问题,利用带有回溯的Barzilai和Borwein梯度迭代算法求解无约束最小化问题,并详细分析了其收敛性.通过数值算例说明所推导算法是有效的.

M-矩阵Sylvester方程的一类交替方向迭代法

Sylvester方程广泛出现在科学计算和工程应用的许多领域中,本文研究了M-矩阵Sylvester方程的数值解法.基于M-矩阵的性质和交替方向迭代的思想,提出了一类交替方向迭代法以求解M-矩阵Sylvester方程,并给出了新方法的收敛性分析.数值实验表明,新方法是可行的,而且在一定条件下也是较为有效的.

完全匹配层在矩阵式波动方程SBP-SAT方法应用

数值离散方法和截断边界效果是地震动模拟实现的关键。基于分部求和(summation-by-parts,SBP)和一致逼近(simultaneous approximation term,SAT)的SBP-SAT方法具有较高的稳定性,这使得该方法具备了较高的应用前景和价值。此外,完全匹配层(perfect matching layer,PML)是一种应用广泛用于模拟截断边界的技术,但引入匹配层可能会破坏原始方程的稳定性,特别是在各向异性介质或曲线域模型中。首先基于数理推导,给出弹性波动方程系数矩阵的对称形式。在此基础上,引入多轴完全匹配层(multi-axis perfect matching layer,MPML),并建立相应的匹配层方程。通过本征值分析,我们可以判断阻尼函数对原方程特征根实部的走向和取值范围的影响。然后,我们采用SBP-SAT方法对矩阵对称形式匹配层方程进行离散,并在频域中采用能量法进行稳定性评估。通过对不同模型的数值仿真,表明所提出的离散框架具有整合度高、稳定性好和拓展性强等特点。此外,多轴匹配层可以与SBP-SAT方法结合,可以稳定地模拟曲线域中的波传播。

求解M-矩阵绝对值方程的不动点迭代算法

多种不动点迭代方法被用于求解绝对值方程。受此启发,本研究建立了一种求解M-矩阵绝对值方程的不动点迭代算法,在适当条件下分析了该方法的收敛性,并通过数值算例验证了该方法的可行性和有效性。

连续Sylvester矩阵方程的参数化单步HSS迭代法

对连续Sylvester矩阵方程的数值算法进行了深入研究,并创新性地提出了一种参数化单步HSS迭代方法。该方法具有独特的求解思路,并证明了其收敛性。为提升性能,通过最小化迭代矩阵谱半径上界寻找拟最优参数。数值实验验证了新方法的有效性和稳健性,展示了其在求解连续Sylvester矩阵方程时的高效和稳定,为相关数值计算提供新工具。

线性偏微分方程中Green矩阵的傅里叶变换

本文介绍了Gronwall不等式及傅里叶变换的性质与推论,应用傅里叶变换法分析三维Navier-Stokes- Poisson (NSP)方程与三维可压缩Navier-Stokes-Korteweg方程的格林矩阵,得到NSP方程与Navier-Stokes-Korteweg方程的傅里叶变换。

一类矩阵方程的解及其应用

目前许多力学问题,如计算物理、地质学、结构设计、分子光谱学、电学、参数识别、自动控制、商务智能、线性系统理论、大数据分析与动态分析等领域,都要依赖于矩阵方程。研究了矩阵方程AX=B的求解问题,给出了矩阵方程AX=B有解的新判别条件及其通解表达式,推广了矩阵方程AX=B的判解条件和通解形式;例题表明简化了矩阵方程AX=B的求解过程,同时也简化了向量组的线性表示式和基到基的过渡矩阵计算,这对于充实矩阵方程的求解理论和简化计算均是有益的。

一类广义Sylvester矩阵方程组对称解的MCG算法

该文建立了求解一类广义Sylvester矩阵方程组对称解的修正共轭梯度算法(MCG算法),给出了MCG算法的性质和收敛性证明,在忽略舍入误差情况下,建立的MCG算法能在有限步迭代后得到该方程组的对称解.选取特殊初始矩阵时,可求得该方程组的极小范数对称解.任意给定初始矩阵,可以在约束解矩阵集合中求出给定初始矩阵的最佳逼近矩阵.数值算例验证了所建立算法的可行性.

求解广义周期Sylvester矩阵方程的有限步收敛算法

提出求解广义周期Sylvester矩阵方程的双共轭残差(biconjugate residual,BCR)算法。在理论方面,证明了该方法在不考虑舍入误差的情况下具有有限步内收敛性;在实验方面,对比数值结果验证了该方法的高效性。

关于求解矩阵方程AXB = C的广义Richardson迭代及其收敛性

本文研究了对于方程AXB = C在传统的Richardson方法基础上,与外推法结合得到的广义Richardson迭代方法。首先,提出广义Richardson迭代方法,然后证明其收敛性。最后,通过数值实验,验证了该迭代方法比传统的渐进迭代逼近法方法(PIA)更有效。

矩阵多项式方程解的存在性研究——构造线性代数“挑战性”综合题

本文探讨矩阵多项式方程解的存在性,给出构造解的具体方法,通过一个具体的例子予以求解和说明,并利用matlab软件进行编程实现.

基于复西尔维斯特矩阵方程的改进双阶尺度分裂数值计算方法

连续时间的矩阵方程是矩阵方程中十分重要的一个类型,在矩形域上的椭圆边值问题的数值解法、线性统计、振动结构的共振控制、二次矩阵的特征值配置问题、受噪声影响的图像复原等问题中有重要地位。由于连续时间的矩阵方程广泛的应用背景,因此,对连续时间的Sylvester方程的数值解法的研究具有重要的理论和实际意义.改进的双步尺度分裂(MDSS)方法是研究一类大型复杂对称线性系统的一种有效方法。在本文中,我们将在双步尺度分裂(DSS)方法的基础上通过改进,得到MDSS方法,来求解复数域上的连续时间的西尔维斯特矩阵方程的近似解,证明了该迭代序列在任意初始条件的情况下都收敛于西尔维斯特矩阵方程的唯一解,并确定了其最优参数和相应的最优收敛因子。最后,给出了一个测试问题来说明该新技术的有效性。

求解绝对值方程的不含逆矩阵ODE方法

本文给出了一类求绝对值方程的不含逆矩阵ODE方法.先通过变量分解,将该问题转换成一个非线性方程组;然后利用Fisher价值函数,将该非线性方程组转换成一个连续可微的非线性方程;设计了一个常微分方程(ODE)来求解该非线性方程,并从理论上分析了ODE状态变量的渐进收敛性.与其他ODE方法对比,本文设计的ODE的最大特点是不需要计算与存储逆矩阵,因此其非常适合求解大规模绝对值方程.最后,初步的数值实验表明了ODE方法的有效性.

GNN求解线性矩阵方程之鲁棒性仿真研究

近年来,梯度神经网络(GNN)因其内在的并行和分布处理、硬件可实现等特性而受到众多学者的关注,在线性矩阵方程的实时求解方面得到广泛应用。在之前文献研究无噪声情况下求解线性矩阵方程的GNN模型的基础上,仿真研究了有噪声干扰下该模型的鲁棒性。计算机仿真结果表明,通过增大模型参数,可以有效地减少模型的稳态解误差。

动力学矩阵方程法求解一维至三维晶格声子色散关系

本文通过动力学矩阵方程求解了一维到三维晶格振动的声子色散关系.与传统的本科生固体物理课程中通过哈密顿正则方程方法求解一维原子链经典模型相比,构建动力学矩阵,使得从一维拓展到三维晶格声子色散关系的求解方程在形式上更具有统一性和普适性,有助于从思维方式上建立一维到三维晶格振动的连续的物理图像.在数值求解三维晶格振动以及考虑非谐效应的影响时,该方法亦提供了更好的便利性.