Clean-正合和Clean-导出范畴

在交换环R上,引入了Clean-正合以及Clean-导出范畴的概念,分别给出了Clean-短正合列和Clean-正合复形的等价刻画,研究了Clean-导出范畴的性质.特别地,证明了有界Clean-导出范畴可以实现为特殊的同伦范畴.

导出等价与三角范畴的Abel化的一点注记

利用三角范畴的Abel化,引入有限维代数的Abel化等价以及二次导出等价的概念,证明了这2种新的等价与代数的导出等价是一致的.

导出微分分次范畴的Nakayama函子

设A是域k上的DG范畴,B.Keller定义了微分分次范畴Dif A的DG函子ν。在定义了Dif A的DG函子的基础上,证明了ν和是HA的正和函子,且ν和诱导了DA的正和函子Lν和R。

对偶数环导出范畴的Recollements

设A,A_1和A_2是环.证明若环A的上有界导出范畴D^-(A)允许有关于环A_1和A_2的上有界导出范畴D^-(A_1)和D^-(A_2)的recollement,则A的对偶数环A[ε]的上有界导出范畴D^-(A[ε])允许有关于A_1的对偶数环的上有界导出范畴D^-(A_1[ε])和A_2的对偶数环的上有界导出范畴D^-(A_2[ε])的recollement.

有界导出范畴的描述

利用预覆盖类描述Abel范畴A的有界导出范畴Db(A),并给出相应的应用.结果表明,模范畴的有界导出范畴可用Gorenstein平坦模和余挠对描述.

Gorenstein代数的导出范畴的粘合

研究Gorenstein代数的导出范畴的粘合,证明了以下结论:设A和C均为Gorenstein代数,且其导出范畴DA有一个关于DB和DC的2-粘合,那么,该粘合可完备为一无界梯子;此外,该粘合还诱导其Gorenstein投射模的稳定范畴上的周期为2的无界梯子.

关于半几乎υ-稳定导出等价问题的一个特例

运用Rouquier定义的三角范畴维数的方法对半几乎υ-稳定导出等价问题的一类特殊情形进行了探讨,得到了肯定的结果.

卡拉比-丘代数的导出表示概型与平移泊松结构

导出非交换代数几何是目前数学领域最活跃的分支之一。撷取近年来人们在这一领域里的几个结果向读者作简单介绍,内容侧重于介绍导出的非交换辛结构、非交换泊松结构,以及它们与卡拉比-丘代数和卡拉比-丘范畴之间的关系。

Gorenstein AC亏范畴

作者定义了Gorenstein AC导出范畴D_(gac)^(b)(R)并且和导出范畴作了一些比较.作者定义了Gorenstein AC奇点范畴D_(gacsg)^(b)(R),在这个范畴中具有有限Gorenstein AC-投射维数的模都是零对象.同时,作者给出了由Gorenstein AC-投射模构成的稳定范畴到奇点范畴的三角嵌入F:gAC→D b 8g(R).通过作函子F的商引入Gorenstein AC亏范畴D_(gacd)^(b)(R),并且给出三角等价D_(gacd)^(b)(R)≌D_(gacsg)^(b)(R).

正合范畴的整体Gorenstein维数

设A是有足够多投射对象和足够多内射对象的正合范畴.本文研究了A的整体Gorenstein维数和A中的Gorenstein导出函子.利用同调的方法,证明了:如果A有可数直和与可数直积,那么sup{GpdM|M∈A}=sup{GidM|M∈A};对A中的对象M,N,若Gp M<∞,GidN<∞,则对任意的i≥0,ExtGPi(M,N)≌ExtGIi(M,N).

A_(n)和D_(n)型箭图路代数的有界导出范畴的半倾斜对象

确定一个三角范畴的所有半倾斜对象,是一项基本且困难的问题.通过比较复杂的计算,对于A_(n)型箭图的路代数A,本文给出了确定A的有界导出范畴D^(b)(A)的所有半倾斜对象的法则.根据这个法则,当n给定时,理论上可以逐一写出D^(b)(A)的所有半倾斜对象.本文用有界同伦范畴K^(b)(proj A)不可分解的二项预半倾斜对象来描述这个法则.对于D_(n)型箭图的路代数A,本文也作了类似的研究.

拉回环上导出范畴的伴随函子

设R_1,R_2,R'是3个有单位元的结合环,环R是环同态j_1:R_1→R'和j_2:R_2→R'的拉回环.首先引入了左R_1-模复形范畴与左R_2-模复形范畴的积范畴的一个子范畴C(T),利用拉回函子方法构造了一个加法函子P:C(T)→C(R-Mod),以及S:C(R-Mod)→C(T),证明了(S,P)是一对伴随对函子.其次,在此基础上,研究了相应的左导出范畴,也得到相应左导出范畴之间的伴随对函子.最后通过一个例子说明在同伦范畴上没有相应的伴随对函子.

粘合与弱总体维数的一些注记

为研究同调维数,可以利用导出范畴的粘合理论来研究代数的弱总体维数的有限性.假设(D(Mod B),D(Mod A),D(Mod C))是导出范畴的标准粘合.证明标准粘合在满足一定条件下,代数A的弱总体维数有限,当且仅当代数B与C的弱总体维数有限.作为应用,证明弱总体维数的有限性是一种导出等价下的不变量.

标准导出等价与D-标准Abel范畴

1991年, Rickard提出如下猜想:模范畴之间的导出等价总是标准的,即为双边倾斜复形的导出张量函子.本文引入D-标准Abel范畴的概念,并猜想模范畴总是D-标准的.这个猜想等价于Rickard猜想.本文综述这些猜想的相关进展.

关于对偶对的相对导出范畴

研究关于(L,A)-Gorenstein投射模和(L,A)-Gorenstein内射模的相对导出范畴,其中(L,A)是一给定的完备对偶对,得到了相对导出范畴的三角等价和相对导出范畴的态射刻画。同时讨论了一类广义Tate上同调及其性质,得到了Avramov-Martsinkovsky型正合序列。

相对于g(X)的导出范畴

设A是有足够投射对象的Abel范畴,(x,y)是A中的完备遗传余挠对.本文引入Gorenstein x-导出范畴,记作Dg(x)(A),并且从不同的角度研究Dg(x)(A).当(x,y)取作特殊的余挠对时,得到一些已知的导出范畴,如Gorenstein导出范畴和Gorenstein平坦导出范畴等.通过与g(X)有关的同伦范畴K-,gxb(g(x))描述有界Gorenstein x-导出范畴Dbg(x)(A)和有界导出范畴Db(A),并给出一些三角等价.

对奇异上链复形的新探讨

范畴的语言是描述同调理论的有力工具,本文在导出范畴内研究奇异上同调理论。通过定义上链复形Z[n],从拓扑学的角度得到上链复形Z[n]和球面S^n约化奇异上链复形间的拟同构关系,由此证明在导出范畴内,从奇异上链复形到球面nS约化奇异上链复形的链态射集合,与奇异上同调群是同构关系。

相对于子范畴的同伦分解的存在性

本文证明了在相对于子范畴的情形下上有界复形的同伦分解的存在性,推广了经典的复形的同伦分解,是使得相对导出范畴具有可操作性的基础.进一步,证明了在R-模范畴和相对于特殊子范畴的情形下,任意无界复形的同伦分解的存在性.最后,建立了同伦范畴和相对导出范畴的(余)局部化序列.

Q-复形和三角范畴

作者定义了Q-复形范畴,它是两类重要的范畴的推广,一类是通常意义下的复形范畴,另一类是重复代数的模范畴;然后证明了在一定条件下Q-复形范畴是Frobenius范畴,从而其稳定范畴是三角范畴;最后刻画了重复代数的模范畴的稳定范畴里的一个满子范畴,并且证明了其上存在Auslander-Reiten三角.

纯奇点范畴中的Buchweitz定理

我们定义纯奇点范畴Dpsg^b(R)为有界纯导出范畴Dpur^b(R)与纯投射模构成的有界同伦范畴K^b(PP)的Verdier商,得到了纯奇点范畴Dpsg^b(R)三角等价于相对纯投射模的Gorenstein范畴的稳定范畴g(PP)的一个充分必要条件.同时,还给出三角等价Dpsg^b(R)≌Dpsg^b(S)的充分条件,这里R和S都是环.