On Diophantine Equation X(X+1)(X+2)(X+3)=14Y(Y+1)(Y+2)(Y+3)

The Diophantine equation X（ X ＋ 1 ） （ X ＋ 2 ） （ X ＋ 3 ） = 14Y（ Y ＋ 1 ） （ Y ＋ 2 ） （ Y ＋ 3 ） still remains open. Using recurrence sequence, Maple software, Pell equation and quadraric residue, this paper proved it has only two positive integer solutions, i. e., （X,Y） = （5,2） ,（7,3）.

关于Diophantine方程x^3±1=pqy^2

关于Diophantine方程x3±1=Dy2至今仍未解决.论文利用同余式、平方剩余、Pell方程解的性质、递归序列证明:(1)p≡1(mod 12)为素数,q=12s2+1(s是正奇数)为素数,(p q)=-1时,Diophantine方程x3±1=pqy2仅有整数解(x,y)=(1,0);(2)p≡1(mod 24)为素数,q=12s2+1(s是正奇数)为素数,(p q)=-1时,Diophantine方程x3±1=pqy2仅有整数解(x,y)=(-1,0).

关于Diophantine方程x^3±1=3Dy^2

设D是奇素数,运用同余式、平方剩余、递归序列、Maple程序等初等方法得出了当D=27t2+1(t∈Z+)时,Diophantine方程x3±1=3 Dy2无正整数解的一个充分条件.

关于Diophantine方程x^3-1=13qy^2的整数解

设D=multiply from i=1 to s p_i(s≥2),p_i=1(mod 6)(1≤i≤s)为不同的奇素数.关于Diophantine方程x^3-1=Dy^2的初等解法至今仍未解决.主要利用同余式、平方剩余、Pell方程的解的性质、递归序列,证明了q≡7(mod 24)为奇素数.(q/13)=-1时,Diophantine方程x^3-1=13qy^2仅有整数解(x,y)=(1,0).

关于Diophantine方程x^3-1=py^2

利用初等数论的方法得到丢番图方程x3-1=py2无正整数解的一个充分条件。设p是奇素数,证明了当p=3(4k+3)(4k+4)+1,其中k是非负整数,则方程x3-1=py2无正整数解。

关于Diophantine方程x^3±1=2pqry^2

设p,q,r为奇素数,p≡13 mod 24,q≡19 mod 24,(p/q)=-1.利用同余式、平方剩余、递归序列、Legendre符号的性质、Pell方程解的性质等证明了:(A)若r≡5 mod 12,则方程G:x3-1=2pqry2仅有平凡解(x,y)=(1,0);若r≡11 mod 12,则方程G最多有2组正整数解.(B)若r≡11 mod 12,则方程H:x3+1=2pqry2仅有平凡解(x,y)=(-1,0);若r≡5 mod 12且(pq/r)=-1,则方程H最多有2组正整数解.

关于Diophantine方程x^3±1=3pqry^2的整数解

利用同余式、平方剩余、勒让德符号的性质、Pell方程解的性质、递归序列等理论得到了Diophantine方程x^3±1=3pqry^2仅有平凡解的两个充分条件.其中r≡5(mod6)为奇素数,p≡q≡1(mod6)为奇素数,(p/q)=-1.

关于Diophantine方程x^3-1=38y^2

运用初等方法及同余理论,研究丢番图方程正整数解。证明了Diophantine方程x3-1=38y2仅有两组正整数解(x,y)=(1,0)(7,3)。

关于Diophantine方程x^3-1=61y^2

运用初等方法,证明Diophantine方程x3-1=61y2仅有整数解(x,±y)=(1,0),(13,6).

关于Diophantine方程x^3-1=91y^2

利用初等方法证明了Diophantine方程x3-1=91y2仅有整数解(x,y)=(1,0)。

Diophantine方程(a^n-1)((a+1)~n-1)=x^2有解的条件

设a是大于1的正整数;a≡λ(mod 2),其中λ∈{0,1};又设f(a)=ord2(a-λ)表示素数2在正整数a-λ的标准分解式中的次数.该文运用初等数论方法证明了:如果方程(an-1)((a+1)n-1)=x2有正整数解(n,x),则必有(i)f(a)=2r,其中r是大于1的正整数;(ii)a+1的奇素因数p都适合p≡±1(mod 8).

关于Diophantine方程x^2+2y^2=z^n

讨论了Diophantine方程x2+2y2=zn在xy≠0,(x,y)=1时有解的充分必要条件及用代数数论的方法给出(x,y)=1,n叟2时方程整数解的一般公式。

Jacobi符号在数论中的应用

Jacobi符号是数论中的重要工具.通过具体实例,讨论了利用Jacobi符号判断有理数是否是整数、求解不定方程、判断递归序列是否是平方数的基本方法.

关于Diophantine方程x^3+11~3=Dy^2

设D是无平方因子且不能被3或6l+1之型素数整除的正整数,用初等方法讨论了Diophantine方程x 3+113=Dy2整数解的情况,并且给出x<104时方程x3+113=Dy2的所有整数解.

关于Diophantine方程x^3+1=26y^2

利用递归数列和同余式的方法,证明了不定方程x3+1=26y2,仅有整数解(x,y)=(-1,0)。

关于Diophantine方程x^3+1=37y^2

应用递归数列、同余式证明了丢番图方程x3+1=37y2仅有整数解(x,y)=(-1,0),(11,±6).

关于Diophantine方程x^3+1=111y^2

应用递归序列、同余式证明了丢番图方程x3+1=111y2仅有整数解(x,y)=(-1,0).

Diophantine方程x^3+8=397y^2的整数解

利用递归序列、同余式、Maple小程序、Pell方程的解的性质证明了Diophantine方程x3+8=397y2仅有整数解(x,y)=(-2,0).

关于Diophantine方程x 3+1=2429y 2的整数解

关于不定方程x 3+1=Dy 2(D>0)的整数解问题,已有许多研究.当D有6k+1形的素因子时,方程的求解比较困难.设D=7×347,该文研究了不定方程x 3+1=2429y 2的整数解.主要利用同余式、平方剩余、递归序列、Pell方程的解的性质,得出不定方程x 3+1=2429y 2仅有整数解(x,y)=(-1,0),推进了该类不定方程整数解的研究.

关于Diophantine方程x^3＋1=201y^2

本文应用递归数列、同余式证明了丢番图方程x^3＋1=201y^2仅有整数解（x,y）=（-1，0），（440，±651）．