基于多变元插值算法计算Dixon多项式

Dixon多项式的计算需要涉及到行列式的展开.但是,由于行列式中的元素通常是符号化的,即其中每个元素都是关于变元(或参数)的多项式,导致行列式展开时的中间计算过程膨胀(甚至爆炸).对此,作者提出符号计算数值化的思想,即对变元选择不同的数值构成插值结点,并赋值到行列式中的相应变元,使符号行列式转化为数值行列式.相对来说,数值行列式的值可以非常容易求出.这样,作者通过选择一系列插值结点代入行列式后计算出结果,并利用输入值和输出值之间的关系构造出了原多项式即Dixon多项式.在插值过程中,作者提出了将Lagrange插值与Zippel多变元随机插值算法相结合以充分利用原多项式的稀疏性,并将该算法并行化处理以提高算法效率的思想,有效克服了经典算法的中间计算过程膨胀问题.

组合结式理论的初步应用

利用组合结式方法的灵活性、快速消元和组合结式导出多项式的多样性等特点,提出了构造Bezout矩阵的改进算法,并把组合结式方法应用在求解非线性方程组、推导未知关系、参数曲线与曲面的隐式化、构造三角列等方面。通过实例验证,组合结式方法比原方法简单。

构建复杂Dixon矩阵递归算法的改进

针对多于5个变元的复杂多项式系统的Dixon矩阵的构建问题,基于递归算法提出了一种改进算法.采用动态规划的思想,自下而上地构建Dixon矩阵,避免了Dixon多项式的重复计算,并给出了使用该算法计算Dixon矩阵的具体实例.该算法与递归算法一样,可以在同样的计算平台上处理其他方法所不能解决的一些复杂多项式系统求解问题,但与递归算法相比,减少了须要计算的Dixon多项式的数量,提高了计算效率.