关于Erdos的直线交圆数目问题

设U是平面E^2上任意给定的一组圆,L是E^2上与U中至少一个圆相交的直线的集合,X={x:存在l∈L使得x是原点O在l上的投影}.本文给出了极坐标测度不可忽略的点集的定义,并且证明了,当X是个这样的点集时,对任m>0及任p∈E^2,E^2中总存在着过p的直线与U中至少m个圆相交.本文还考虑了高维欧氏空间中λ维平面交n维球的数目等进一步的问题,并得到了一些结果.

任何两个圈的长均不相等的图的边数

设 f(n)是有 n 个顶点的任何两个圈的长均不相等的图的最大可能边数。P.Erdos在1975年提出了确定 f(n)的问题(见[1]问题11)。Y.Shi[2]证明了:对于每个 n≥3,f(n)≥n+[((8n-23)^(1/2)+1)/2];作者在[3][4][5]证明了:对于每个 n>((2m+3)/4)e^(2m),f(n)<n-2+(n·1n)(4n/(2m+3))+2n^(1/2)+log_2(n+6);对于每个n≥33,f(n)≥n-1+9[(9+(584n-503)^(1/2)/146],本文证明了:当 t=360q+7(q≥1)时,对于每个 n≥(1381/9)t^2+(26/45)t+(98/45),f(n)≥n+19t-1。

关于p＋3^k型整数

证明了如下定理:存在一个正偶整数的无穷算术数列,其中每一项都与3互素且不能表为p+3k形式.由此证得存在无穷多个素数q,使得2q不能表示为p+3k形式.