Erds-Turn猜想与相关的问题

设N是所有非负整数所成的集合,对于A■N,用R(A,n)表示方程n=a+b,a,b∈A的解数.著名的Erds-Turn猜想为:如果对所有非负整数n,总有R(A,n)≥1,则R(A,n)一定无界.本文简单介绍了Erds-Turn猜想的进展,同时证明了Erds-Turn猜想在有理数域上关于加法和乘法(乘法不含零)均不成立.如关于乘法,本文证明了如下结论:存在非零有理数集的一个子集A,使得每个非零有理数均可以唯一地(不考虑次序)表成A中两个数的乘积.最后,本文提出了7个未解决的问题供进一步研究.

加法表示函数的若干性质

令A={a_1,a_2,…}(a_1≤a_2≤…)是一个无限非负整数序列.设k≥2是固定的正整数,对n∈N,令R_k(A,n)表示方程a_i_1+…+a_i_k=n解的个数.令R_k^((1))(A,n)及R_k^((2))(A,n)分别表示上述方程带限制条件i_1<…<i_k及i_1≤…≤i_k时解的个数.最近,陈永高和本文作者证明了如下结果:设d是一个正整数,若对充分大的所有n皆有R_k(A,n)≥d,则R_k(A,n)≥d+2[k/2]!d^(1/2)+([k/2]!)~2对无穷多个n成立.本文获得了R_k^((1))(A,n)及R_k^((2))(A,n)的相关结果.