关于2-中心蜘蛛树的Erdös-Sós猜想

Erdös-Sós猜想:如果图G平均度大于k-2,则G包含任一k个顶点的数.蜘蛛树是指最多只有一个点度超过2的树.范更华、洪艳梅和刘清海证明了该猜想对所有蜘蛛树成立.本文我们定义2中心蜘蛛树为至多两个相邻点度超过2的树并且证明了Erdös-Sós猜想对腿长至多为2的2中心蜘蛛树都成立.

二项式系数中的完全方幂

证明了：当ｂ ∈｛２ ，３｝ 时，方程 ｘｂ ＝ ｙｎ ，ｘ ２ｂ ，ｙ ＞ １ ，ｎ ＞ １ ，２ｎ ，无正整数解（ｘ ，ｙ，ｎ） ．

关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2py^3

设p是奇素数,证明了方程x(x+1)(x+2)=2py3仅有正整数解(p,x,y)=(3,1,1).

关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2py^2

设p是奇素数,给出了方程x(x+1)(x+2)=2py2当p<17时的所有正整数解,并且讨论了当x为偶数时方程解的情况.

关于单位分数的Lazar问题

设n为任意正整数.Erdös-Straus猜想是指当n≥2时,Diophantine方程4n=1x+1y+1z总有正整数解(x,y,z).设p≥5为任意素数.最近,Lazar证明Diophantine方程4p=1x+1y+1z在区域xy<z/2内没有x与y互素的正整数解(x,y,z).同时,Lazar提出问题:在上述方程中以5/p替换4/p,是否有类似结果?这也是Sierpinski提出的一个猜想.本文证明Diophantine方程ap=1x+1y+1z没有满足x,y互素且xy<z/2的正整数解(x,y,z),其中a为满足a<7≤p的正整数.这回答了上述Lazar问题,推广了Lazar的结果.证明方法和工具主要是利用有理数ap的连分数表示.

Erdős--Lovász Tihany猜想综述

设s≥2和t≥2是整数.若可将V(G)分割成两个集合S和T,使得χ(G[S])≥s且χ(G[T])≥t,则称图G为(s,t)-可分裂的.1968年提出的著名猜想——Erdős--Lovász Tihany猜想称,所有满足ω(G)<χ(G)=s+t−1的图G都是(s,t)-可分裂的.本文是关于Erdős--Lovász Tihany猜想及相关问题的一个综述.

关于3元一致U(s,q)集族的最大基数

假设n、k、s和q为正整数,n>q≥k,sk>q,s≥2.给定一个集族F?(k[n]),如果对于任意F1,…,Fs∈F,都有|F1∪…∪Fs|≤q,则称F是一个U(s,q)集族.这个概念由Frankl和Kupavskii(2021)引入.它是两类常见集族的推广:(1)t-交族;(2)最多有s个成员互不相交的集族.Frankl和Kupavskii(2021)提出如下问题:决定U(s,q)集族的最大基数.本文充分研究k=3的情形,并且在s≥s0(t)时,确定U(s,2s+t)集族的最大基数.特别地,本文证明Frankl和Kupavskii(2021)提出的一个关于3元一致U(s,q)集族的最大基数的猜想.

3维欧氏空间中确定不同距离的最优点集

本文拓展Erdős和Fishburn的工作,研究在3维欧氏空间中确定不同距离的有限点集结构.令f(k)表示可以在3维欧氏空间中放置点的最大数目,使得这些点恰好确定k个不同的距离.我们证明了f(1)=4,f(2)=6和f(3)≥12,并给出了k=1,2,3时对应的最优点集构型.