包含Euler函数的方程的可解性

对任意正整数n,Smarandache LCM函数是满足n|[1,2,,k]的最小的正整数,其中[1,2,,k]代表1,2,,k的最小公倍数。欧拉函数φ(n)定义为序列1,2,3,,n-1中与n互素的正整数的个数。用分类讨论和初等方法完全解决了方程SL(n)=φ(n)的可解性。

与Euler函数有关的误差项均值估计

设 φ(n)是Euler函数 ,r是正实数 .以E(x ,r)表示和式 ∑n≤xnφ(n)r的渐近公式中的误差项 ,本文研究了E(x ,r)的算术均值和积分均值 .

关于不定方程x^(d(n))+y^(ϕ(n))=z^(σ(n))

设n是正整数,证明了不定方程x^(d(n))+y^(ϕ(n))=z^(σ(n))在一定条件下无正整数解,这里d(n),ϕ(n)和σ(n)分别表示n的约数函数、欧拉函数及约数和函数。同时给出了n=3时,该方程的全部正整数解。

关于奇Euler相关数对

设a,b是正整数.t是大于1的正整数.本文证明了:当a和b都是奇数时,(a,b)不是t-Euler相关数对.

关于酉Euler函数的Subbarao猜想

对于正整数n,设φ (n)是酉Euler函数.本文证明了:当n是幂数时,如果n=1(modφ (n)),则n必为素数方幂.

关于Euler函数的一个方程

对于正整数n,设φ(n)和S(n)分别是n的Euler函数和Smarandache函数。本文解决了有关φ(n)和S(n)的一个方程问题。

On the Distribution of Values of Euler＇s Function over Integers in Arithmetic Progressions

Let φ(n) denote the Euler-totient function, we study the distribution of solutions of φ(n) ≤ x in arithmetic progressions, where n ≡ l(mod q) and an asymptotic formula was obtained by Perron formula.

一个与Euler函数有关的Ω-结果

设Ｅ（ｘ；ｒ）是（φ（ｎ）／ｎ）ｒ的均值公式中的误差项，其中φ（ｎ）是Ｅｕｌｅｒ函数，ｒ是正整数．该文证明了Ｅ（ｘ；ｒ）＝Ω±（（ｌｏｇｌｏｇｘ）ｒ２）。

优化的与Euler函数有关的误差项的算术均值

设ρ(n)是Euler函数,r正实数,则有其中a是与r有关的常数,而以(x;r)是误差项,本文的主要目的是利用经典的复积分理论及解析的方法研究了E(x;r)的算术均值,得到了一个较为精确的估计式。

量子求解欧拉函数破解RSA算法

量子计算根据量子力学原理设计,具有天然的并行计算优势。Shor算法是一个能够快速分解整数,从而有望破解RSA加密技术的算法。然而Shor算法存在着需要构造的模幂电路极其复杂、量子位数会影响后期连分式计算精度的缺点,因此难以在量子计算机上实现。针对上述问题,文章基于数论知识和RSA算法提出一种新的算法,设计相关量子线路去求解待分解整数N的欧拉函数,待量子求解出待分解整数的欧拉函数后,通过构造二元一次方程组可以求出整数N的两质因子。并且结合公钥可以进一步计算出私钥,从而对密文进行破译。文章所提算法在做到通用的基础上,只使用2n+2个量子比特,仅需要求解数的模乘,不用进行连分式计算,从而实现计算量和线路复杂度低的量子算法。

关于数论函数方程φ(n)=S(n^5)

对于正整数n,设φ(n)和S(n)分别是Euler函数和Smarandache函数.证明了:方程φ(n)=S(n5)仅有解n=1,64.

关于数论函数方程φ(n)=s(n^7)

对于正整数n,设φ(n)和s(n)分别是Euler函数和Smarandache函数,证明了:方程φ(n)=s(n7)仅有整数解n=1,64,72,80.

一个包含欧拉函数的方程

设n为任意正整数,如果n>1,设n=p_1^(α1)p_2^(α2)…P_k^(αk)是n的标准分解式,函数Ω(n)定义为Ω(1)=0,Ω(n)=∑_(i=1)~kα_i,φ(n)为Euler函数,本文的主要目的是利用初等方法研究方程φ(φ(n))=2^(Ω(n))的可解性,并获得该方程的所有正整数解,从而彻底解决了前学者提出的一个问题.

关于整除性n｜φ(n)+σ(n)

本文证明了：ｉ）当合数ｎ至多只有两个不同的素因子时，ｎφ（ｎ）＋σ（ｎ）；ｉ）若奇合数ｎ满足ｎ｜φ（ｎ）＋σ（ｎ），则ｎ至少有６个不同的素因子，且ｎ≥６５１５５１１５０２５；ｉｉ）在区间［１０７，２·１０７］中有且仅有一个ｎ，即ｎ＝１２５５８９１２，满足ｎ｜φ（ｎ）＋σ（ｎ）．

关于Smarandache方程的可解性

研究包含经典的Euler函数与Smarandache函数的算术方程,利用分类等初等数论方法,给出了此方程解的一般形式,得到三个有趣的定理,改进和补充了已有的结论.

关于Makowski-Schinzel问题

对于正整数ｎ，设σ（ｎ），ω（ｎ）分别是ｎ的约数和函数和Ｅｕｌｅｒ函数．本文证明了：如果ｐ是ｎ的素因数。

关于欧拉函数方程φ(φ(x))=2t的可解性

对任意的正整数n,函数φ(n)为著名的Euler函数,即在序列1,2,···,n中与n互质的整数的个数.本文利用初等方法研究了方程φ(φ(x))的可解性,并给出了该方程的全部正整数解.

关于数论函数方程φ(φ(n))=2^(ω(n))的可解性问题研究

对任意的正整数n,函数φ(n)为著名的Euler函数,即在序列1,2,...,n-1,n中与n互质的整数的个数;函数ω(n)表示任意正整数n的所有不同质因数的个数。文章利用初等方法研究了φ(φ(n))=2ω(n)方程的可解性,并给出了该方程的全部正整数解。

Jordan函数r次方Jrk（n）的均值误差项研究

设ｋ，ｒ分别是自然数和非零整数，Ｊｋ（ｎ）是Ｊｏｒｄａｎ函数．文［３］求出了和式∑ｎ≤ｘＪｒｋ（ｎ）的渐近公式．以Ｅ（ｘ；ｋ，ｒ）表示该公式中的误差项，本文研究了Ｅ（ｘ；ｋ。

关于σ(n)和φ(n)的一个整除式

设φ(n)表示n的欧拉函数,σ(n)表示n的所有正因子和,ω(n)表示n的不同素因子的个数.对于整除关系φ(n)|σ(n),其中n是正整数,当n为素数时只对n=2,3成立.讨论了当n至多有3个不同的素因子时,n为哪些合数时才能使该整除式成立,其中解2α(2α+2-1)(其中2α+2-1为素数,α∈N)与偶完全数2n-1(2n-1)(其中2n-1为素数且n∈N)类似.