从Fermat大定理看数学问题在数学发展中的作用

回顾费马大定理的解决过程,从一个侧面论述了数学问题对数学发展的推动作用.

Fermat“大定理”求解与数学研究

本文揭示了一些数学家在20世纪中证明 Fermat“大定理”的思路与方法以及对数学研究的推动与作用。

用什么来证明Fermat大定理？Grothendieck与数论的逻辑

本文探究现已发表的Fermat（费马）大定理证明中所使用到的集合论假设，这些假设怎样出现在Wiles（怀尔斯）使用的方法中，以及目前所知道的使用更弱假设的证明的前景．

有理指数的Fermat大定理

1．介绍 在这篇文章中，我们考虑Fermat大定理在有理指数n／m情况下的一个允许有复数根的推广，这里的n>2．使用复数根会有古怪的事情发生．例如，在这种情况下对Fermat大定理有一个“新”的解。

关于Fermat方程的一组不等式和Fermat方程的第一情形

本文得到了Fermat方程解之间的一些最好的不等式,例如Fermat方程x^n+y^n=z^n,O＜x＜y＜z,n＞2 有整数解时推出①对 Vm∈[2,n-1]均有x^m＞nz^(m-1)+(n-m)z^(m-2)+[(n-m)(n+log2)]/2 z^(m-3)-sum fromi=i to m (m/i) z^(m-1)(-1)~1;②x^n＞[(n+log2)/2]z^(n-1),等等.同时对若干类型的素数指数,我们还证明了Fermat大定理第一情形成立.

关于Fermat方程解的下界的估计

本文证明了:对于适合p≡3(mod4)的素数p,方程x^p+y^p=z^p,p|xyz,0<x<y<z的整数解(x,y,z)都满足y>p^(6p-2)/2以及z—x>p^(6p-3)/4。

关于Fermat方程第一情形的一些新结果

Fermat大定理虽告解决 ,但研究其新证明或初等证明仍有意义。该文推广了Perisatri的两个命题 ,还获得了另外几个关于Fermat方程第一情形的新结论 ,而所用的方法是初等简洁的。

关于丢番图方程x^4±4y^8=pz^4

利用初等数论及Fermat无穷递降法 ,证明了丢番图方程x8- 4y4 =pz4 、x4 - 4y8=pz8、6 4x8± y4 =pz4 均无正整数 ;方程x4 +4y8=pz4 除开 p =5仅有解x=y =z=1外 ,其他情形均无正整数解 ,同时还解决了方程x8+my4 =z4 在m =± p ,± 2 p ,± 4p ,±

关于丢番图方程ax^4+bx^2y^2+cy^4=dz^2

该文利用初等数论和Fermat无穷递降法 ,证明了丢番图方程ax4+bx2 y2 +cy4=dz2 在 (a ,b ,c,d) =(1,± 5 0 ,12 5 ,1) ,(1,± 2 5 ,12 5 ,1) ,(1,- 10 ,5 ,1) ,(1,5 ,5 ,1) (1,± 10 ,5 ,5 ) ,(1,± 5 ,5 ,5 ) ,(1,- 5 0 ,12 5 ,5 )和 (1,2 5 ,12 5 ,5 )时均无满足 (x,y) =(x,z) =(y ,z) =1的正整数解。

关于丢番图方程x^4+my^4=nz^2

利用数论方法及Fermat无穷递降法 ,证明了丢番图方程x4+my4=nz2 在 (m ,n) =(- 18,1) ,(72 ,1) ,(12 ,1) ,(36 ,1) ,(- 2 7,1) ,(± 10 8,1) ,(- 2 7,- 2 ) ,(- 4,- 2 7) ,(6 ,1) ,(- 2 4,1) ,(2 ,1) ,(- 8,1)时均无正整数解 ;在 (m ,n) =(- 4,- 3)和 (- 9,- 8)时均只有正整数解x =y =z=1,从而解决了Mordell和曹珍富遗留的难题。

环论若干研究方向概述

简要地叙述了抽象代数学的一个重要领域:环论的发展情况。

关于Diophantine方程x^(φ(n))+y^(φ(n))＝z^n

利用初等数论方法,讨论了一类不定方程正整数解的存在性,给出了Diophantine方程x^(φ(n))+y^(φ(n))=z^n是否有正整数解的一个判定准则.

关于丢番图方程x^(m_1/n_1)+y^(m_2/n_2)=z^(m_3/n_3)

用初等方法讨论了丢番图方程 xm1n1 + ym2n2 =zm3n3 ,完全解决了 m1 =m2 =m3 =s≥ 2时方程的解的问题 .

指数型丢番图方程x^4-1=2~yn^z

研究了指数型丢番图方程 x4- 1=2 ynz(n为正奇数 )的非负整数解 ,证明了 :(1) x为偶数时仅有平凡解 x=2 m,y=0 ,z=1,n=16m4- 1;(2 ) z为偶数时无解 ;(3) x为奇数且 z=1时仅有解为 x=2 y-2 n0 ± 1,y≥ 4 ,z=1,n=n0 (2 y-3n0 ± 1) [2 y-2 n0 (2 y-3n0 ± 1) + 1],其中 n0 为正奇数 ;(4 ) (y- 2 ,z)≥ 3或 (y- 3,z)≥ 3时无解 ;(5 ) n为奇素数时仅有唯一解 x =3,y=4 ,z=1。

关于Diophantine方程x(m_1/n_1)+y(m_2/n_2)=z(m_3/n_3)

1979年,戴宗铎,冯绪宁和于坤瑞用代数数论的方法给出了方程 x1/n+y1/n=z1/n （1）（其中n】1）的全部正整数解。1981年,Newman利用一个整函数的可约性。

整数环上一类矩阵方程X^(n)+Y^(n)=λ^(n)I(n∈N,λ∈Z,λ≠0)的解

设Z,N分别是全体整数和正整数的集合,M_(m)(Z)表示Z上m阶方阵的集合.本文运用Fermat大定理的结果证明了:对于取定的次数n∈N,n≥3,二阶矩阵方程X^(n)+Y^(n)=λ^(n)I(λ∈Z,λ≠0,X,Y∈M_(2)(Z),且X有一个特征值为有理数)只有平凡解;利用本原素因子的结果得到二阶矩阵方程X^(n)+Y^(n)=(±1)^(n)I(n∈N,n≥3,X,Y∈M_(2)(Z))有非平凡解当且仅当n=4或gcd(n,6)=1且给出了全部非平凡解;通过构造整数矩阵的方法,证明了下面的矩阵方程有无穷多组非平凡解:■n∈N,X^(n)+Y^(n)=λ^(n)I(λ∈Z,λ≠0,X,Y∈M_(n)(Z));X^(3)+Y^(3)=λ^(3)I(λ∈Z,λ≠0,m∈N,m≥2,X,Y∈M_(m)(Z)).

Andrew Wiles的绝妙证明

众所周知，Fermat（费马）曾宣称发现了Fermat大定理的“一个真正绝妙的证明”，但是由于他持有的Diophantus（丢番图）所著的《算术（Arithmetica）》一书的页边空白太小而没有记录下来．虽然后人失去了这个证明（如果它真的曾经存在过），但是AndrewWiles（怀尔斯）的绝妙证明已经面世20多年了，并且目前已经为他赢得了Abel（阿贝尔）奖．据这个奖项的颁奖辞称，Wiles应该得到这样的认可，“因为他利用关于半稳定椭圆曲线的模性猜想给出了Fermat大定理令人震撼的证明，开创了数论的新时代．”

Wiles获得2005年度邵逸夫奖

邵逸夫奖基金会于2005年6月3日宣布，为了表彰Princeton（普林斯顿）大学的Andrew J.Wiles证明了Fermat大定理，2005年度的邵逸夫数学奖将授予Wiles．这个奖项的奖金为100万美元．这是第2次颁发邵逸夫奖．