关于广义Fermat猜想

利用初等方法证明了丢番图方程 x2 + y4 =z5,x2 -y4 =z5(2 | y) ,x5+ y5=z2 (2 | z) ,x4 ± y4 =z2 和 x10 ± y10 =z2 均没有适合 (x,y) =1的非零整数解 ,从而推进了广义 Fermat猜想的研究进展 .

基于第三类极限数学理论的Goldbach猜想和Fermat猜想的同时证明

目的 :基于第三类极限的数学理论用一个定理同时证明Goldbach猜想和Fermat猜想。方法 :把数学与计算机、相对绝对、有限无限、时间空间有机地结合成一个统一整体 ,把用计算机证明两个猜想的问题转化为计算机运行的时空问题 ,再把计算机运行的时空问题转化为数学问题 ,进行严格的数学推导 ,取极限。结果 :一次性地证明了 ( 1+1)、一次性地证明了Goldbach猜想的两个部分、一次性地证明了Fermat猜想、一次性地用一个定理同时证明了Goldbach猜想和Fermat猜想。结论

Fermat猜想的两个等价命题

对每个奇素数p,我们提出了关于p的两个命题:(I)不存在正整数m和n,使代数曲线f(y)=y^3-(2m+1)y-2n的三个零点同时为p方有理整数;(I)不存在正整数m,使不定方程x^2+3y^2=4(2m+1)具有三组正整数解x_i,y_i(i=1,2,3),满足x_1=x_2+x_3,x_1~2+x_2~2+x_3~2=6(2m+1)。本文旨在证明(I)及(I)都与关于素数p的Fermat猜想等价。

Fermat猜想的证明

本文创造性的运用中值定理和Taylor公式 ,证明了Fermat猜想。

Fermat猜想的部分证明

一.引言 Fermat的著名猜想(x^n+y^n=z^n,n≥3时没有正整数解)引起了三百多年来许多数学家的浓厚兴趣。1770年,欧拉证明了n=3的情形;1823年,勒让德证明了n=5的情形;1839年,拉梅证明了n=7的情形;之后,尽管许多数学家为此进行了不懈的努力。

关于Tijdeman猜想(Ⅰ)

设p≡ 5 (mod 6 )是素数 ,D是无平方因子且不被p和 6k +1形素数整除的正整数 ,运用初等数论方法 ,获得了丢番图方程x3 +y3 =pDz2 在D =1,2 ,3,6时全部整数解的通解公式及其解的深刻性质 ,从而推进了广义Fermat猜想与Tijdeman猜想的研究进展 .

丢番图方程x^3-y^6=pz^2与Tijdeman猜想

设p≡5(mod6)为素数,证明了丢番图方程x3?y6=pz2在p≡5(mod12)时均无整数解,在p≡11(mod12)时均有无穷多组整数解,获得了方程全部正整数解的通解公式,编写了计算正整数解的计算程序.

关于Tijdeman猜想(Ⅱ)

1989年Tijdeman猜想:设a,b,c是互素的正整数,m,n,r是大于1的正整数,则方程axm+byn=czr在1/m+1/n+1/r<1时仅有有限多组整数解;本文利用数论方法及Fermat无穷递降法,证明了丢番图方程x8+my4=z2在m=±p,±2p,±4p,±8p及素数p满足一定条件下无正整数解,完善了Mordell等人的结果;并且获得了方程x4-2py4=z2和x4+8py4=z2的无穷多组正整数解的通解公式,从而获得了Tijdeman猜想与广义Fermat猜想的研究进展.

丢番图方程x^3-y^6=pz^2与Tijdeman猜想

设 p■5(mod6)为素数,证明了丢番图方程 x^3-y^6=pz^2在 p■5(rood12)时均无整数解,在 p(?) 11(mod12)时均有无穷多组整数解,并且还获得了方程全部正整数解的通解公式,同时编写了计算正整数解的计算程序,可以很方便地计算该方程的正整数解．

方程x^4-6px^2y^2+12p^2y^4=z^2与Aubry猜想

利用Fermat无穷递降法,证明了方程x4-6px2y2+12p2y4=z2与x4+12px2y2-12p2y4=z2在p≡5(mod6)时均有无穷多组正整数解,并且获得了方程无穷多组正整数解的通解公式,从而完善了Aubry等人的结果.

关于丢番图方程x^4±y^6=z^2与x^2+y^4=z^6

利用初等数论方法证明了丢番图方程 x4 ± y6=z2 与 x2 +y4 =z6均没有适合 ( x,y) =1的正整数解 .

关于丢番图方程x^6±y^6=Dz^2

设正整数D无平方因子且不被 6k +1形素数整除 ,证明了丢番图方程x6±y6=Dz2 ,(x ,y) =1除开x6±y6= 2z2 仅有解x=y =z=1外 ,其他情形均无正整数解 ;同时获得了方程x6±y6=PDz2 (P为奇素数 )

关于丢番图方程x^3+y^3=pDz^2

设p≡ 5(mod6 )是素数,D是无平方因子且不被p和 6k +1形素数整除的正整数,运用初等数论方法,获得了丢番图方程x3 +y3 =pDz2 在D=1,2,3,6时全部整数解的通解公式及其解的深刻性质,从而推进了广义Fermat猜想与Tijdeman猜想的研究进展.

关于丢番图方程x^4±y^4=z^p

研究了丢番图方程（１）ｘ４＋ｙ４＝ｚｐ，（ｘ，ｙ）＝１和（２）ｘ４－ｙ４＝ｚｐ，（ｘ，ｙ）＝１的正整数解，证明了：①当ｐ＝３时，方程（１）和方程（２）均无正整数解；②当ｐ＞３是素数，ｐ±１（ｍｏｄ８）时，方程（１）的正整数解满足２ｐ｜ｘ或２ｐ｜ｙ；③当ｐ＞３是素数时，方程（２）的正整数解满足２ｐ｜ｘ或２ｐ｜ｙ或２ｐ｜ｚ．

关于丢番图方程x^6±y^6=pz^2的正整数解

设p >3是素数 ,证明了丢番图方程在x6+y6=pz2 在p 1(mod 2 4 )时无正整数解 ,方程x6-y6=pz2 在p 1,7,19(mod 2 4 )时无正整数解 ;并且获得了以上方程在p≡1,7,19(mod 2 4 )时有正整数解的必要条件及其部分计算结果 ,从而从正面支持了广义Fermat猜想和Tijdeman猜想 .

关于丢番图方程x^3±y^6=Dz^2

设D是无平方因子且不被 6k+1形素数整除的正整数,运用初等数论方法,获得了丢番图方程x3 ± y6=Dz2 全部整数解的通解公式,获得方程在D =1,2,3,6时的全部整数解,从而推进了广义Fermat猜想和Tijdeman猜想的研究进展.

关于丢番图方程x^3+y^3=pDz^4

设 p≡ 5(mod6 )是素数,D是无 4次方因子且不被 p和 6k +1形素数整除的正整数,运用数论方法,获得了丢番图方程x3 +y3 =pDz4在D=1,2,3,4,6,8,9,12,18,2 4,2 7,36,5 4,72,10 8,2 16时无整数解的充分条件。

关于丢番图方程x^2±y^4=z^3

获得了丢番图方程x2 ±y4 =z3 的全部整数解公式 ,对广义Fermat猜想的研究具有重要的意义。

关于丢番图方程x^3±y^6=Dz^2(Ⅱ)

设D是无平方因子且不被 6k+1形素数整除的正整数 ,证明了丢番图方程x3±y6 =3z2 ,x3+y6 =6z2x3-y6 =z2 ,x3-y6 =2z2 均无yz≠ 0的整数解 ,方程x3+y6 =z2 仅有整数解 1+2 3=32 ,方程x3+y6 =2z2 和x3-y6 =6z2 均有无穷多组正整数解 ,并且获得了全部正整数解的通解公式 。

关于Diophantine方程x^2+y^4=z^5

运用无穷递降法证明了:方程X4-10X2Y2+5Y4=Z2和X4-50X2Y2+125Y4=Z2都没有适合gcd(X,Y)=1以及2|XY的正整数解(X,Y,Z).由此推知:方程x2+y4=z5没有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y,z),上述结果解决了广义Ferm at猜想的一个特殊情况。