有奇异位势和临界指数的拟线性椭圆方程的G-对称解

本文讨论一类奇异拟线性椭圆型方程-div(|x|-ap|▽u|p-2▽u)=μ+h(x)/|x|(a+1)p|u|p2u+k(x)|u|q2u/|x|bq,x∈RN,其中1<p<N,0≤a<Np/p,a≤b<a+1,0≤μ<μ=(N-p/p-a)p,q=p(a,b)=Np/N-(1+ab)p,h和k是RN上的连续有界函数,且关于O(N)的闭子群G满足某些对称性条件.应用变分方法和Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式,在h与k满足适当条件下,证得了一些G-对称解的存在性和多重性结果.

含临界指数的拟线性椭圆系统正对称解的存在性（英文）

本文讨论一类拟线性椭圆型系统-Δpu=μ|u|p-2 u|x|p+2αQ(x)(α+β)|x|s|u|α-2 u|v|β+σ1|u|q1-2 u,x∈Ω,-Δpv=μ|v|p-2v|x|p+2βQ(x)(α+β)|x|s|u|α|v|β-2v+σ2|v|q2-2v,x∈Ω,u=v=0,x∈Ω,其中Δpu=div(|▽u|p-2▽u)是p-Laplacian,2≤p<N,ΩRN是一个有界光滑区域,0∈Ω,且Ω关于O(N)的一个闭子群G对称,0≤μ<,=((N-p)/p)p,σ1,σ2≥0,0≤s<p,α,β>1满足α+β=p*(s)=(N-s)p/(N-p),p<q1,q2<p*=Np/(N-p),Q(x)是Ω上的连续G对称函数.应用Palais对称临界原理和变分方法,我们建立了该系统几个全新的正G-对称解的存在性结果.

含Sobolev临界指数的半线性椭圆系统的对称正解

本文研究一类含有奇异位势和Sobolev临界指数的半线性椭圆型系统■其中ΩR^N(N≥3)是具有光滑边界Ω的一个有界区域,0∈Ω且Ω关于O(N)的一个闭子群G对称.L_μ=-△-μ./(|x|~2)是一个半线性椭圆型算子,H_0~1,G(Ω)是一个适当的由G-对称函数构成的Sobolev空间.2~*=2N/(N-2)是Sobolev嵌入H_0~1(Ω)■L^(2^*)(Ω)的临界指数,λ≥0,0≤ζ_i<2,2<q_i<2~*(ζ_i)=2(N-ζ_i)/(N-2)(i=1,2),且α,β>1满足α+β=2~*=2~*(0),K(x)是满足某些条件的连续有界函数.设K_0>0是一个常数,这里我们讨论系统在λ=0,K(x)≠K_0与λ>0,K(x)≡K_0时的两种情形.本文的第一个目的是研究问题(■_0~K)的G-对称解的存在性与多重性.在Palais对称临界原理和Lions集中紧性原理的基础上,我们首先验证局部Palais-Smale条件并得出问题(■_0~K)的正对称解的一些存在性结果.同时,应用对称山路定理,我们也证得问题(■_0~K)无穷多个G-对称解的存在性.本文的第二个目的是研究问题(■_λ^(K_0))对称正解的存在性.我们先应用由含有次临界凹凸非线性项的半线性椭圆型系统发展而来的著名技巧,证得(■_λ^(K_0))对应的泛函满足山路定理的几何条件.然后再应用上述分析技巧说明山路水平恰好位于紧性成立的水平线之下,进而由Palais-Smale序列的这些结果和山路定理证得问题■_λ^(K_O))正对称解的存在性.