幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1,如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素x_i和x_j的最大公因子的a次幂(x_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂GCD矩阵,用(S^a)表示.类似定义幂LCM矩阵[S^a].本文证明了:设S是由n个不同的正整数组成的一个最大公因子封闭集,且正整数a|b.如果n≤3,那么det(S^a)|det[S^b];如果,那么det(S^a)|det[S^b].

GCD矩阵的一种推广

本文研究了有限个正整数直积上的GCD矩阵.利用Mbius反演得到了直积上的GCD矩阵性质和GCD矩阵行列式的计算方法.进一步,把正整数直积上的GCD矩阵推广到一般偏序集直积上,得到了广义GCD矩阵的性质.

GCD矩阵和LCM矩阵的性质

设S＝｛x1，x2，…，xn｝是含n个不同正整数的集合，（S）、［S］分别是定义在S上的GCD矩阵和LCM矩阵．给出了对偶因数封闭集的定义，讨论了对偶因数封闭集和最小公倍数封闭集上的矩阵（S）和［S］的性质．

带号GCD矩阵和LCM矩阵

令S={x1,x2,…,xn}是1个不含零的整数集.定义了s上的带号CCD矩阵和LCM矩阵,得到了它们的行列式、逆矩阵和广义逆矩阵的计算公式.

最大公因子闭集上的GCD矩阵

给出了定义在最大公因子闭集上的GCD矩阵的结构定理及其行列式的计算方法 .在此基础上 ,首次证明了在这类集合上的GCD矩阵的一个逆定理 .

与算术函数相关联的广义GCD矩阵的行列式（英文）

设S={x_1,…,x_n}是由n个元素组成的正整数集合,f是一个算术函数.用(f(S))表示一个n×n的矩阵,其(i,j)项为∑d|x_i d∈S f(d)-∑d|(x_i,x_j)d∈S f(d),用(f(S))表示另一个n×n的矩阵,其(i,j)项为∑x∈S f(x)-∑d|x_i d∈S f(d)-∑d|x_j d∈S f(d)+∑d|(x_i,x_j)d∈S f(d).首先研究了矩阵(f(S))和(f(S))的结构,然后给出了这2个矩阵的行列式计算公式,这推广了Bege在2010年所得到的结果.

最大公因子闭集上的GCD矩阵

本文给出了定义在最大公因子闭集上的ＧＣＤ矩阵的结构定理及其行列式的计算方法．在此基础上，首次证明了在这类集合上的ＧＣＤ矩阵的一个道定理．

最大公因子闭集上的GCD矩阵

本文给出了定义在最大公因子闭集上的ＧＣＤ矩阵的结构定理及其行列式的计算方法，在此基础上，首次证明了在这类集合上的ＧＣＤ矩阵的一个逆定理。

两个互素因子链上的幂GCD矩阵的行列式与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={X_1,X_2,…,X_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并设整数a≥1.如果n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素X_i和X_j的最大公因子的a次幂(X_i,x_j)~a,则称该矩阵是定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)矩阵,用(S^a)表示.类似可定义a次幂LCM矩阵[S^a].作者证明了:设S由两个互素的因子链构成并且1∈S.若a|d,则det(S^a)|det(S^a),det[S^a]|det[S^b]和det(S^b)|det[S^b].若S由两个不互素的因子链构成,则如此分解定理不成立.

有限个互素因子链上幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的整除性

设S={x1,x2,...,xn}是由n个不同的正整数组成的集合,并设a为正整数.如果一个n阶矩阵的第i行j列元素是S中元素xi和xj的最大公因子的a次幂(xi,xj)a,则称该矩阵为定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)矩阵,用(Sa)表示;类似定义a次幂LCM矩阵[Sa].如果存在{1,2,...,n}上的一个置换σ使得xσ(1)|xσ(2)|···|xσ(n),则称S为一个因子链.如果存在正整数k,使得S=S1∪S2∪···∪Sk,其中每一个Si(1ik)均为一个因子链,并且对所有的1i=jk,Si中的每个元素与Sj中的每个元素互素,则称S由有限个互素因子链构成.本文中,设S由有限个互素的因子链构成,并且1∈S.我们首先给出幂GCD矩阵与幂LCM矩阵的行列式的公式,然后证明:如果a|b,则det(Sa)|det(Sb),det[Sa]|det[Sb],det(Sa)|det[Sb].最后我们指出:如果构成S的有限个因子链不互素,则此结论一般不成立.

幂GCD矩阵及幂LCM矩阵的行列式的非整除性

当S是任一因子链,且|S|≥2时,给出了幂GCD矩阵及幂LCM矩阵的行列式的计算公式,并且得到了一个关于其行列式的非整除性的结果.

有限个互素因子链上的倒数幂GCD矩阵与倒数幂LCM矩阵的非奇异性

设S={x1,x2,…,xn}是一个正整数组成的集合,a是一个正实数.如果一个n阶矩阵的第i行第j列的元素为1(xi,xj)a,称它是定义在集合S上的倒数幂GCD矩阵,用(1Sa)表示.类似可定义倒数幂LCM矩阵[1Sa].作者得到定义在有限个互素因子链上的倒数幂最大公因子矩阵与倒数幂最小公倍数矩阵的行列式计算公式,并得出它们均是非奇异的.

惟一因子分解整环上的GCD幂矩阵与LCM幂矩阵

设S={x1,x2,…,xn}是惟一分解整环R上的不同元素构成的集合,e≥1是一个正整数.(xi,xj)和[xi,xj]分别表示xi,xj的最大公因子和最小公倍数.S称为因子封闭集(简称FC集),如果对S中的任何元xi,它的任意一个因子是S中的一个元的相伴元.以(xi,xj)的e次方为i行j列元素的矩阵称为GCD幂矩阵,记为(Se);以[xi,xj]的e次方为i行j列元素的矩阵称为LCM幂矩阵,记为[Se].作者证明了若S是FC集,则(Se)整除[Se],即[Se]等于(Se)与R上另一个矩阵的乘积,推广了Bourque和Ligh在1992年所得的结果.

GCD封闭集上倒数幂GCD矩阵的非奇异性

设α为正整数,S={x_(1),…,x_(n)}为n个不同的正整数构成的集合。若对任意1≤i,j≤n,均有gcd(x_(i),x_(j))∈S,则称S是GCD封闭集。如果一个n阶方阵的第i行第j列元素为1/(gcd(x_(i),x_(j)))^(α),那么称它是定义在集合S上的α次倒数幂GCD矩阵。本文给出了某些特殊类型的GCD封闭集S上α次倒数幂GCD矩阵的行列式的计算公式,并且得到了有关其非奇异性的一些结果。

GCD闭集上的GCD幂矩阵和LCM幂矩阵

１９８９年以来，多位国内外学者讨论过定义在集上的ＧＣＤ矩阵和ＬＣＭ矩阵，获得了一批成果．本文是将他们的研究推广到所谓ＧＣＤ幂矩阵和ＬＣＭ幂矩阵上，得到了这两类矩阵在ＧＣＤ闭集上的结构定理、行列式的计算公式，特别是得出了ＬＣＭ幂矩阵和ＧＣＤ幂矩阵在ＧＣＤ闭集上的逆矩阵的漂亮结果．

MOBIUS变换与GCD函数矩阵（Ⅰ）

本文考虑定义在不同正整数组成的集合Ｓ上的矩阵（ｆ（Ｓ））．当Ｓ是因子闭集时，我们利用Ｍｂｉｕｓ反演，得出了计算（ｆ（Ｓ））的行列式的一般公式。该公式使我们有可能计算许多定义在集合Ｓ上的十分有趣的行列式。关于ＧＣＤ矩阵及其行列式的目前熟知的结果，都是本文的一般结论在条件ｆ（ｎ）＝ｎ下的特殊情况。

MOBIUS变换与GCD函数矩阵（Ⅱ）

本文作为ＭＢＩＵＳ变换与ＧＣＤ函数矩阵（Ⅰ）的续篇，继续讨论在ＧＣＤ闭集上的函数矩阵（ｆ（Ｓ））及其行列式的计算方法．特别是我们用组合学的方法，求得了定义在集Ｓ上的Ｍｂｉｕｓ矩阵，它推广了数论中的Ｍｂｉｕｓ函数μ．从而求得了（ｆ（Ｓ））的逆矩阵．

定义在三个拟互素因子链上的倒数幂矩阵的非奇异性(英文)

首先给出定义在三个拟互素因子链上的倒数幂GCD矩阵和倒数幂LCM矩阵的行列式的计算公式,由此证明定义在三个拟互素因子链S上且S的最大公因子属于S时的倒数幂GCD矩阵和倒数幂LCM矩阵是非奇异的.但当构成S的三个因子链不素时,如此的结果不成立.

定义在三个互素因子链上的交错幂GCD和交错幂LCM矩阵的整除性

设S={x_1,x_2,…,x_n}是由n个不同的正整数组成的集合,并且设a为正整数.如果一个n阶矩阵的第i行j列元素定义为(-1)^(i+j)(x_i,x_j)~a,其中(x_i,x_j)_a表示S中的元素x_i与x_j的最大公因子的a次幂,则称这个矩阵((-1)^(i+j)(x_i,x_j)~a)是定义在S上的a次幂最大公因子(GCD)交错矩阵,简记为(AS^a).类似可定义a次幂最小公倍数(LCM)交错矩阵((-1)^(i+j)[x_i,x_j]~a),简记为[AS^a].在本文中,设S由三个互素的因子链构成,且1∈S.作者证明了如下结果成立:(1)若a|b,则det(AS^a)| det(AS^b),det[AS^a]| det[AS^b],det(AS^a)| det[AS^b];(2)在n阶整数矩阵环M_n(Z)中,若a|b,则(AS^a)|(AS^b),[AS^a]|[AS^b],(AS^a)|[AS^b];若ab,则(AS^a)(AS^b),[AS^a][AS^b],(AS^a)[AS^b].

使得幂GCD阵(S^e)整除幂LCM矩阵[S^e]的四元gcd封闭集S的一个刻画(英文)

Hong在2002年证明了如下结果:若S为gcd封闭集且|S|3,则在|S|阶整数矩阵环M|S|(Z)中,GCD矩阵(S)整除LCM矩阵[S].设e 1为给定的整数.在本文中,我们给出了关于四元gcd封闭集S的充分必要条件,使得在环M4(Z)中,定义在S上的e次幂GCD矩阵(Se)整除e次幂LCM矩阵[Se].这部分解决了Hong在2002年提出的一个公开问题.