例谈二项展开式中系数与二项式系数的关系

二项式定理作为计数原理模块中的一个重要知识点,也是高考命题中的一个基本知识点.本文主要正确辨析二项展开式中的系数与二项式系数这两个不同的概念,结合相关的应用问题加以正确理解与掌握,形成思维习惯,引领并指导数学教学与解题研究.

二项式系数与Lucas数4q次幂的关系

结合Lucas数列与二项式系数的定义及性质,利用初等数论的方法研究了二项式系数与Lucas数的4q次幂的卷积并给出了证明,得到了二项式系数与Lucas数4q次幂之间的恒等式关系,推广了已有的组合数与Lucas数的较小正整数次幂的恒等式相关结果.

基于深度学习的课堂教学实践与思考——以“二项式系数的性质及应用”为例

数学深度学习是指在理解学习的基础上,在教师的引领下,学生带着自己的想法,围绕具有挑战性的学习任务,积极主动参与,并将它们融入原有认知结构,进而将已有的知识迁移到新的情境中,做出决策和解决问题的学习.它是触及数学知识本质,探究数学知识间相互关联,在理解的基础上更多关注分析、评价与创造层面的高阶思维的学习[1].笔者以在全市研讨活动中开设的公开课“二项式系数的性质及应用”为例,阐述基于促进学生深度学习的课堂教学实践与思考.

基于生成函数法计算三类二项式系数的二重和

利用生成函数法,研究三类含有两个二项式系数乘积的二重和,并建立它们的递推关系和有理生成函数。

二项式系数与Lucas数四次幂的一个关系

若(^(n)_(i))=n!/i!(n-i)!(n,i∈N^(*),且n≥1)表示二项式系数,第l个Lucas数是L_(l),其中l是非负整数;对任意正整数n和非负整数k,数列{(^(n)_(i))}_(i=0)^(n)和{L_(k+i)^(p)}_(i=0)^(n)的卷积为l(k,p,n)=(^(n)_(0))L_(k+i)^(p)+…+(^(n)_(n))L_(k+n)^(p)=∑_(i=0)^(n)(^(n)_(i))L_(k+i)^(p)。本文利用初等数论方法证明了p=4时,等式l(k,4,n)=3^(n)L_(4k+2n)+4(-1)^(k+n)L_(2k+n)+3×2^(n+1)成立。

HPM视角下解密杨辉三角与二项式系数的关系

以HPM视角,探索杨辉三角与二项式系数的关系的创新教学模式.通过引导学生横向、纵向、斜向等多方位多角度去观察杨辉三角,可得到关于二项式系数的六大性质定理.在融入数学史的过程中,也可实现对学生的爱国主义教育,落实德育与课堂的有机融合.同时,学生经历了观察证明的过程,体验了从特殊到一般的数学思想,感悟到数学文化中的对称之美以及和谐之美.数学教学中从来不缺乏美,而是需要发现美的视角,基于杨辉三角数学史的教学实践也能为今后的教学带来“五个一”的启示.

盘点二项式定理中的“系数”问题

二项式定理在近几年的高考中多以选择题、填空题的形式出现,涉及的题型主要有求展开式中的特定项、求特定项的系数、整除(求余)、求近似值等问题.本文就二项式定理中的“系数”问题加以归类和解析.

二项式定理中的赋值技巧

在二项式定理的求值问题中,尤其是求解二项展开式的系数和等问题时,我们常常采用赋值法求解。即对二项展开式中的相关字母进行赋值,进而得以求解二项式系数及与之相关的综合问题,在选择性必修三课本中就给出了用法,让我们走进课本,从课本入手,了解赋值法在二项式定理中的应用,以便同学们正确掌握二项式定理中的赋值技巧。

F1上的射影几何和Gauss二项式系数

1．介绍 没有只有一个元的域，但什么是这样一个域上的射影几何也还是一个容易定义的概念．这个概念对专家是熟悉的，而且在组合和代数的幕后扮演着有趣的角色，虽然它很少象这样被讨论．本文目的就是使它引起更广泛读者的注意，解决关于Gauss二项式系数的一个谜题．

二项式产能方程系数异常情况(B小于零)分析

从理论上说,二项式方程系数B不可能为负值,但在排除了文献中提及的井底积液影响的原因外,仍然出现异常情况(B小于零),致使现场无法进行产能解释和分析评价。针对这种现象,通过理论分析认为,对于低压低渗气藏,如果忽略了前期工作制度对后期动态的影响,特别在每个工作制度生产后地层压力恢复较低的情况下,就会产生气井产能曲线反转。经理论推导给出了使校正后的曲线既符合产能规律,又能真实反映这类气井实际产能的推荐方程。通过对推荐方程进行实际验算,其可靠性得到检验,故可供类似低压低渗气田借鉴和应用。

对气井二项式系数B的新认识

在气井产能试井过程中 ,通常人们把井筒储集效应消失后的二项式系数B认为是恒定常数 ,但实践却证明 ,由此确定的二项式系数B误差较大。文章基于气井二项式产能方程通式 ,考虑探测半径及对应渗透率的变化 ,从理论上推导了二项式系数B的变化规律。完整、准确地说 ,二项式系数B受探测半径及对应渗透率的影响 ,只不过在井筒储集效应阶段系数B变化明显 ,当探测半径扩大到一定程度 (当然井筒储集效应已经消失 ) ,二项式系数B受探测半径及对应渗透率的影响越来越小 ,逐渐趋于一恒定常数。这对加深理解二项式系数B及产能试井合理设计、得到稳定可靠的产能方程和无阻流量起到了重要指导作用。

二项式系数与Fibonacci数立方的一个关系

对于适合n≥i≥0的整数n和i,设(ni)=n!/(i!(n-i)!)是二项式系数;对于非负整数l,设F_l是第l个Fibonacci数,对于给定的非负整数k和正整数n,设f(k,3,n)是数列{(ni)}ni=0和{F^3_(k+i)}ni=0的卷积,即f(k,3,n)=(n0)F^3_k+(n1)F^3_(k+1)+…+(nn)F^3_(k+n).证明了当k≥n时,等式f(k,3,n)=1/5(2~nF_(3k+2n)-(-1)^(k+n)3F_(k-n))成立,当k<n时,等式f(k,3,n)=1/5(2~nF_(3k+2n)+3F_(n-k))成立.

关于二项式系数级数恒等式

根据一个已知级数,使用裂项方法得到分母含有1到5个因子的二项式系数级数.所给出二项式系数级数的和式是封闭形的,并给出二项式系数数值级数恒等式.裂项的方法研究二项式系数变换是组合分析的新手段,也是产生新级数的一个初等方法.

基于MATLAB的Gauss积分节点系数研究

研究了带权的Gauss求积公式。Gauss型积分的代数精度高,在科学研究中有重要的应用价值。用特殊函数对带权的Gauss求积公式中的节点xk及系数Ak的计算进行了深入探讨和研究,然后借助MATLAB软件编写出求解Gauss节点和系数的程序,计算得出了直至n=20的Gauss节点和对应的系数,这一结果为科学计算提供了很大便利。

二项式系数幂和序列在模p下的周期性

目的探讨二项式系数的幂和序列an(r,s)=∑nk=0nkrn+kks在modp下的同余性质。方法同余理论。结果①akp+t(r,s)≡ak(r,s)·at(r,s)(modp);②当2|(r+s)时,akp-t(r,s)≡ak-1(r,s)at-1(s,r)(modp)。结论为研究序列an(r,s)的多项式递推公式提供了有力工具。

二项式系数与Fibonacci数四次及八次幂的关系

对满足条件n≥i≥0的整数n和i,设(ni)=n!/i!(n-i)!为二项式系数;对于任意的非负整数l,令F_l是第l个Fibonacci数,对于给定的非负整数k和正整数n,设f(k,m,n)是数列{(ni)}ni=0和{Fmk+i}ni=0的卷积,即f(k,m,n)=(n0)Fmk+(n1)Fmk+1+…+(nn)Fmk+n.运用初等数论方法证明等式f(k,4,n)=1/25(3~nL_(4k+2n)-(-1)^(k+n)4L_(2k+n)+3·2^(n+1))及f(k,8,n)=1/625(7~n·L_(8k+4n)-8·4~n(-1)^(k+n)L_(6k+3n)+28·3~nL_(4k+2n)-56·(-1)^(k+n)L_(2k+n)+35·2^(n+1)).

分母为平方因子的交错二项式系数级数

根据一个已知级数,使用积分-裂项方法得到分母含1个平方因子的二项式系数级数,以及平方因子与1个,2个,3个因子乘积的交错二项式系数级数.所给出二项式系数级数的和式是函数形式,并给出分母含有平方因子的二项式系数数值级数恒等式.

二项式系数与Fibonacci数4m次幂的关系

若■=n!/(i!(n-i)!)(n,i∈N~*且n≥i)表示二项式系数,第l个Fibonacci数为F_l,其中,l是非负的整数;对任意正整数n和非负整数k,数列{■}_(i=0)~n和{F_(k+i)~p}_(i=0)~n的卷积为f(k,p,n)=■F_k^p+■F_(k+1)~p+…+■F_(k+n)~p.论文利用初等数论方法证明了p=4m(m∈N~*)时,等式f(k,4m,n)=1/25~m[L_(2m)~n·L_(4mk+2mn)+C_(4m)~1(-1)^(k+n+1)L_(2m-1)~nL_((4m-2)k+(2m-1)n)+C_(4m)~2L_(2m-2)~n L_((4m-4)+(2m-2)n)+C_(4m)~3(-1)^(k+n+1)L_(2m-3)~nL_((4m-6)k+(2m-3)n)+…+C_(4m)^(2m)·2~n]成立.

分母含有平方因子的二项式系数级数

根据一个已知级数,使用积分裂项方法得到分母含1个平方因子的二项式系数级数和平方因子与1个、2个、3个的1次因子乘积的二项式系数级数和交错的二项式系数级数.所给出二项式系数级数的和式是函数形式,并给出分母含有平方因子的二项式系数数值级数恒等式.

二项式系数和的同余性质

通过讨论二项式系数和序列ａｎ（ｒ，ｓ） ＝ ∑ｎｋ＝ ０ （ｎｋ）ｒ（ｎ ＋ ｋｋ ）ｓ 的同余性质，给出了关于它所满足的多项式递推公式的一个结果。