关于高次Gowers范数的Koopman-von Neumann分解

有限域上的二次Fourier分析是加法组合的一个重要方面,其内容主要涉及关于‖.‖U3(三次Gowers范数)的逆定理与Koopman-von Neumann分解(3-KvN),研究与‖.‖Ud相应的d-KvN成为一个自然的问题.本研究给出了d-KvN的一种形式.

子集的Gowers范数与伪随机测度

设A■ZN,以及fA(s)={1-|A|/N,若s∈A,-|A|/N,若s■A,本文定义子集A的k阶伪随机测度如下:Pk(A,N)=maxD|n∈ZN∑fA(n+c1)fA(n+c2)…fA(n+ck),其中max表示对所有满足0≤c1<c2<…<ck≤N-1的D=(c1,c2,…,ck)∈Z^k取最大值。当Pk(A,N)是N的无穷小量时,称A■ ZN为k阶伪随机子集。本文将建立Gowers范数与伪随机测度之间的联系,证明“好”的伪随机子集一定有“小”的Gowers范数,同时举例说明其逆命题并不成立。本文还证明了L(k)阶伪随机子集包含长度为k的等差数列,其中L(k)=2·lcm(2,4,…,2[2/k]),此处k≥4,lcm(a1,a2,…,a1)表示a1,a2,…,al的最小公倍数。