时空分数阶扩散方程的高效数值算法研究

在时间上使用Caputo型分数阶导数,在空间上使用Riemann-Liouville型分数阶导数,研究时空分数阶扩散方程的高效数值算法。首先,在时间上使用了一个一致收敛的高阶数值离散格式和在空间上利用移位的Grünwald-Letnikov公式进行离散;其次,分析离散化代数方程组的系数矩阵结构,利用快速Fourier变换和GMRES迭代法建立求解时空分数阶的快速计算方法;最后,给出的数值结果表明,本文的数值格式是有效的。

高阶逼近Grünwald-Letnikov分数阶加权系数的快速算法

文中提出三种求解高阶逼近任意运算阶的Grünwald-Letnikov分数阶微分器系数的快速算法,表述了算法的实现原理及对应的推导公式,并对其进行运行时间统计和计算复杂度分析。与幂级数展开法、卷积计算法、复化Simpson数值逼近法和IFFT相比,快速算法可以在误差允许的范围内,降低求解Grünwald-Letnikov分数阶微分器系数的计算复杂度,从而提高执行效率。

时空分数阶扩散方程的高阶快速数值方法分析

研究时空分数阶扩散方程的高阶快速数值算法。在时间上,取α(α∈(0,1))阶Caputo分数阶导数,在空间上,取β(β∈(1,2))阶Riesz分数阶导数。首先,在时间离散上使用了一个(3-α)阶一致收敛的格式,在空间上利用加权移位的Grünwald-Letnikov公式对空间部分进行离散;其次,分析格式的系数矩阵结构满足Toeplitz矩阵,利用快速Fourier变换结合FGMRES方法建立求解时空分数阶的快速计算方法;最后,给出数值结果,结果表明本文的数值格式是有效的。

带有分数阶边界条件的一维Riesz分数阶扩散方程差分方法

本文对带有分数阶边界条件的一维Riesz分数阶扩散方程进行了数值研究.本文利用分数阶中心差分公式对方程中的Riemann-Liouville空间分数阶导数进行离散,并利用标准的Grünwald-Letnikov分数阶算子对分数阶边界条件中的Riemann-Liouville空间分数阶导数进行离散,进而建立了一种隐式有限差分格式,然后讨论了该方法的解的存在唯一性,分析了该格式的相容性、稳定性和收敛性.最后本文通过数值实例验证了该方法的有效性.

一种新的基于自适应分数阶的活动轮廓模型

区域可调拟合(region scalable fitting,RSF)活动轮廓模型在分割弱纹理、弱边缘图像时,优化易陷入局部极小导致曲线演化速度缓慢;同时该模型中的局部拟合项为高斯核函数,导致目标的边界模糊,影响分割精度.针对该问题,提出了一种基于自适应分数阶的活动轮廓模型,用于图像的分割.首先将全局G-L(Grünwald-Letnikov)分数阶梯度融合到RSF模型中,以增强灰度不均匀和弱纹理区域的梯度信息,从而提高对曲线初始位置选择的鲁棒性,并提高了图像分割的精度和速度;然后用双边滤波函数替换局部拟合项中的高斯核函数,解决了高斯核函数在演化过程中造成的边界模糊问题;最后根据图像的梯度模值和信息熵构建自适应分数阶阶次的数学模型,并计算出最佳分数阶阶次.理论分析和实验结果均表明:提出的算法可以用于灰度不均匀和弱纹理、弱边缘区域的图像分割,并能根据图像的特征自适应计算最佳分数阶阶次,避免曲线演化陷入局部最优.用多幅图像进行实验,得出该方法的分割精度和分割效率都有较大提高.

Riesz分数阶反应-扩散方程数值近似的稳定性与收敛性分析

分数阶微分方程可以用来模拟工程,物理,生物等科学领域中的许多现象,然而分数阶微分方程的数值方法与理论分析是一项困难的事,其理论分析与经典的数值方法之间有很大的差异.本文考虑一个Riesz分数阶反应-扩散方程.这个方程是将一般的反应-扩散方程的二阶导用Riesz导数来替换.利用Riemann-Liouville定义和Grünwald-Letnikov定义之间的关系,我们提出了一个显示的数值近似,同时讨论了稳定性与收敛性,并给出数值例子.

带有分数阶边界条件的一维分数阶扩散方程差分方法

对带有分数阶边界条件一维分数阶扩散方程进行了数值研究,分别利用移位的和标准的Grünwald-Letnikov分数阶算子对方程中Riemann-Liouville空间分数阶导数和分数阶边界条件中Riemann-Liouville空间分数阶导数进行了离散,在此基础上建立了一种隐式有限差分方法。然后分析了该方法的解的存在唯一性、相容性、稳定性和收敛性。最后通过数值实例验证了该方法的有效性。

基于分数阶微分的盐渍土电导率高光谱估算研究

传统电导率的反演模型采用整数阶微分(1阶或2阶)的预处理方法,忽略位于分数阶微分处的高光谱反射率信息。因此,本研究提出一种基于分数阶微分的盐渍土电导率高光谱估算方法,以新疆昌吉回族自治州境内的盐渍化土壤为研究靶区,于2017年5月采集0~20 cm的表层土壤样品,利用FieldSpec?3 Hi-Res光谱仪测量盐渍土的野外高光谱,并在实验室化验土壤的电导率理化参数。在Matlab 2019a软件中编程实现0阶-2.0阶的Grünwald-Letnikov分数阶微分计算(阶数间隔为0.1)。分析土壤高光谱与电导率的相关系数曲线在21种微分处的变化规律,选择每阶微分的最大相关系数大于0.5时对应的波长为敏感波长,采用逐步多元线性回归模型对电导率进行预测。结果表明:分数阶微分预处理方法能够把相关系数曲线位于不同分数阶时的变化细节呈现出来,在全波段范围内出现更多的波峰和波谷信息。电导率的8个敏感波长为400 nm、418 nm、567 nm、1667 nm、2132 nm、2193 nm、2257 nm和2258 nm。估算电导率的最佳模型位于分数阶1.5阶,其验证集的RPD值为1.99,R2为0.81,RMSE为1.08,该模型因RPD值大于1.8对电导率的估算能力好。本研究探索了电导率在不同分数阶微分处的差异信息,为电导率的估算提供一种新的研究思路,对新疆干旱区盐渍土的改良提供了科学可靠的依据。

基于分数阶微分的TV-L^1光流模型的图像配准方法研究

图像的非刚性配准在计算机视觉和医学图像分析中有着重要的作用.TV-L^1(全变分L^1范数、Total variation-L^1)光流模型是解决非刚性配准问题的有效方法,但TV-L^1光流模型的正则项是一阶导数,会导致纹理特征等具有弱导数性质的信息模糊.针对该问题,将G-L(Grünwald-Letnikov)分数阶引入TV-L^1光流模型,提出基于G-L分数阶微分的TV-L^1光流模型,并应用原始–对偶算法求解该模型.新的模型用G-L分数阶微分代替正则项中的一阶导数,由于分数阶微分比整数阶微分具有更好的细节描述能力,并能有效地、非线性地保留具有弱导数性质的纹理特征,从而提高图像的配准精度.另外,通过实验给出了配准精度与G-L分数阶模板参数之间的关系,从而为模板最佳参数的选取提供了依据.尽管不同类型的图像其最佳参数是不同的,但是其最佳配准阶次一般在1～2之间.理论分析和实验结果均表明,提出的新模型能够有效地提高图像配准的精度,适合于包含较多弱纹理和弱边缘信息的医学图像配准,该模型是TV-L^1光流模型的重要延伸和推广.

几个常见分数阶微积分定义的比较

从初等函数eax和xp的整数阶微积分入手,探索函数的分数阶微积分形式,并给出其级数形式.通过与经典分数阶微积分的定义比较,给出了不同定义下简单函数f(t)=t的1/2阶微积分.结果表明,同一函数在不同定义形式下的分数阶微积分相差一个上限为分数的级数.

G_L分数阶微分理论在遥感图像增强中的应用

扼要阐述了分数阶微积分,遥感图像增强Grünwald-Letnikov的常见形式。概括了分数阶微分的相关定义。介绍了现在G_L等分数阶微分在图像增强的研究中已有的进展。论文主要研究Grünwald-Letnikov定义的分数阶微分在遥感图像中的增强处理,同时构造了3乘3、5乘5、7乘7三种常见的增强算子模板对图像(彩色图像和灰度图像)进行仿真图像增强实验处理,对比不同掩模大小和不同分数阶微分阶次及不同分数阶微分对图像增强的效果,建立遥感图像增强的信息熵评价指标。结果表明,在遥感图像增强方面,整数阶微分增强遥感图像的效果没有分数阶微分好。阶次我们可以调整使其变大,这时候遥感图像的信息熵慢慢变大,信息量慢慢增加。

分数阶半主动颗粒阻尼隔振系统动力学特性分析

针对半主动颗粒阻尼器建立其分数阶模型,通过试验及参数识别确定了分数阶参数与实际物理量之间的定量关系。试验结果表明:分数阶系数与颗粒填充率之间满足线性关系,而分数阶阶次与外圈电流满足三次多项式关系;研究了一类含分数阶半主动颗粒阻尼器的单自由度隔振系统,通过平均法求解了其解析解,并基于Grünwald-Letnikov分数阶定义得到其离散化数值解,对比表明解析解和数值解具有良好的一致性;分析了分数阶参数对隔振系统稳态响应的影响规律。研究结果表明:随着分数阶阶次的增大或是分数阶系数的减小,系统稳态响应幅值逐渐减小;通过观察幅频响应曲线可知阶次值的变化会引发"频移"现象,同时推导出了分数阶系统的最优阶次值为1.47。

分数阶双层隔振系统动力学特性分析

本文针对含气囊隔振器的双层隔振系统,通过实验验证了气囊隔振器分数阶模型的正确性并建立了分数阶气囊隔振器双层隔振系统的动力学模型,采用平均法得到了分数阶双层隔振系统的理论解。通过傅里叶系数法得到双层隔振系统幅频响应的数值表达式,然后基于G-L分数阶定义得到双层隔振系统幅频响应的离散化数值解,并通过数值仿真结果验证理论解的正确性。分析了分数阶系数和分数阶阶次对隔振系统幅频响应及振动传递率的影响规律。研究结果表明:分数阶系数的增大能降低系统传递到基座的相对位移响应,但对振动传递率影响复杂;分数阶阶次的增大既能降低系统传递到基座的相对位移响应,也能在总体上降低振动传递率。

分数阶玻色-爱因斯坦凝聚态的数值方法

针对分数阶玻色-爱因斯坦凝聚态(BEC)的基态和第一激发态进行了研究。首先使用归一化梯度流的方法将分数阶玻色-爱因斯坦凝聚态的基态问题转化为求解分数阶Gross-Pitaevskii方程的最小能量问题。由于分数阶拉普拉斯算子的非局部性质,计算分数阶GP方程的特征值和特征函数是一个挑战。传统的Grünwald-Letnikov差分法精度低、稳定性差。利用加权偏移的Grünwald-Letnikov差分法(WSGD)进行空间离散,离散结果为一个常微分方程组,具有二阶精度并且无条件稳定。时间离散方面采用了隐式积分因子(IIF)方法,计算精度高、存储量小、效率高。最后,数值实验通过调节分数阶阶数α和非线性参量β来演示包含谐振子势的BEC的基态和第一激发态。数值结果表明了2种数值方法的收敛性、高效性和准确性。

一类变系数回火分数阶扩散方程离散格式的收敛性分析

提出了证明一类变系数回火分数阶扩散方程离散格式的收敛性的一种新方法,针对变系数回火分数阶扩散方程,采用Crank-Nicolson方法离散一阶时间偏导数,用回火加权移位Grünwald算子逼近正规化Riemann-Liouville回火分数阶导数,所获得的数值离散格式是无条件稳定的和收敛的.但是,关于收敛性的证明是基于较强的条件完成的.为进一步降低数值离散格式收敛性证明中的条件,引入了一种新的分析技术,结合合同矩阵的性质,严格证明了所得数值离散格式的收敛性在离散L2范数下满足空间和时间上是二阶精度收敛的.

空间分布阶反常扩散方程的解

证明了Grünwald-Letnikov型分数阶导数拉普拉斯变换性质,利用拉普拉斯及逆变换求解空间分布阶对流扩散方程初值问题的解析解和含外部作用项空间分布阶对流扩散方程初值问题的解析解。

时间分布阶反常扩散方程的解析解

证明了Grünwald-Letnikov型分数阶导数的拉普拉斯变换性质,利用拉普拉斯及逆变换求解Grünwald-Letnikov型时间分布阶反常扩散方程边值问题的解析解;利用拉普拉斯变换和傅里叶变换及逆变换求解Caputo型时间分布阶反常扩散方程初值问题的解析解.

双边空间分数阶对流-扩散方程的一种有限差分解法

给出双边空间分数阶对流-扩散方程的一种隐式有限差分解法。并证明了这种方法的相容性,无条件稳定性,以及由此得出的收敛性。最后给出数值例子,并对方程的数值解和精确解进行比较。

Lévy-Feller对流-扩散过程

考虑Lévy-Feller对流-扩散过程,应用Laplace和Fourier变换及其逆变换导出了用格林函数表示的Lévy-Feller对流-扩散方程的解析解,结果中去掉对流项的特殊情况与Mainardi等的研究结果是一致的.利用Riesz-Feller,Riemann-Li-ouville和Grünwald-Letnikov分数阶导数之间的关系,按照Grünwald-Letnikov定义对Riesz-Feller分数阶导数进行离散,得到了近似Lévy-Feller对流-扩散方程的一种两层的有限差分格式.最后,对上述的两层有限差分格式在一定条件下进行了离散随机游走的解释.

结合全局与局部变化的图像质量评价

图像所包含的信息是通过灰度值在空域的变化呈现的.梯度是度量变化的基本工具,这使得梯度成为了目前大多数图像质量评价算法的重要组成部分.但是梯度只能度量局部变化,而当人类视觉系统(Human visual system,HVS)感知一幅图像时,既能感知到局部变化,也能感知到全局变化.基于HVS的这一特性,本文提出了一种结合全局与局部变化的图像质量评价算法(Global and local variation similarity,GLV-SIM).该算法利用Grünwald-Letnikov分数阶导数来度量图像的全局变化,利用梯度模来度量图像的局部变化.然后结合二者计算参考图像和退化图像之间的相似度谱(Similarity map),进而得到图像的客观评分.在TID2013、TID2008、CSIQ与LIVE四个数据库上的仿真实验表明,较之单一度量局部变化的方法,本文算法能更准确地模拟HVS对图像质量的感知过程,给出的客观评分与主观评分具有较好的一致性.