THE GAUSS–GREEN THEOREM IN CLIFFORD ANALYSIS AND ITS APPLICATIONS

In this article, we establish the Gauss Green type theorems for Clifford-valued functions in Clifford analysis. The boundary conditions in theorems obtained are very general by using the geometric measure theoretic method. The Cauchy-Pompeiu formula for Clifford-valued functions under the weak condition will be derived as their simple application. Furthermore, Cauchy formula for monogenic functions under the weak condition is derived directly from the Cauchy-Pompeiu formula.

Green公式及其证明

首先指出数学分析中反映二重积分和第二类平面线积分联系的Green公式可以看成是散度定理的一种特殊情形,然后利用散度定理给出广义分部积分公式、第一Green公式和第二Green公式的证明.

关于Green定理的向量形式

通过引入梯度、旋度和散度,得到Green定理的向量形式.

关于Green定理的两种形式

通过对二元函数利用外微分性质,得到实函数Green定理的微分形式。通过实复转换,并运用外微分性质,得到复函数Green定理的微分形式。

一类Green函数变号的二阶两点边值问题正解的存在性

讨论了Green函数变号的二阶两点边值问题:其中f:[0,1]×[0,+∞)→[0,+∞)连续.利用Guo-Krasnosel'skii不动点定理得到了正解的存在性.

应用Green定理解决渔业资源最优捕获问题

利用马尔萨斯生物种群理论中的鱼口模型和Verhulst方程,给出了时间和捕捞数量的关系,然后利用定理,得到了按照一定数量捕捞,才能使恰当时间捕捞的鱼口数量最多的最优方案.

利用Green公式计算二重积分

二重积分的计算一直都是高等数学教学的核心内容之一.基于被积函数齐次性的特点,结合Green公式,给出了将闭区域上二重积分转化为边界上曲线积分的计算公式以及其特殊情形.将二重积分转化为一重积分,降维使得计算更加地便捷简化;另一方面,该结论又提供了一种计算二重积分的新途径,特别是可以用来求解部分利用常规方法难于求解或计算繁杂的二重积分,这使得该方法具有更大的优势.最后,通过一些典型性算例证实理论的有效性.

关于Green公式条件的一点注记

在仅假设Green公式中所出现的线积分存在、一阶偏导数连续,在不要求所有的一阶偏导数存在的较弱条件下证明了Green公式,且证明过程更易理解.

允许Green函数取零值情形下的Neumann问题的正解

本文研究了一类二阶非线性常微分方程Neumann边值问题{y″+a(t)y=λg(t)f(y),t∈[0,1],y′(0)=y′(1)=0,正解的存在性,其中λ是一个正参数,f在∞处是超线性的且f允许变号.此外与这一问题相关的Green函数可以在某些点等于0.主要结果的证明基于Krasnosel’skii不动点定理.

一道数学竞赛试题的多种解法

针对一道2022年全国大学生数学竞赛初赛(非数学类)的试题给出多种解法,以帮助学生建立有效地数学认知结构,提升分析和解决问题的能力.

一类完全非线性四阶微分方程正周期解的存在性

讨论一类完全非线性四阶微分方程u^((4))(t)+a(t)u(t)=f(t,u(t),u′(t),u″(t),u″′(t))正周期解的存在性,其中,a(t)∈C([0,ω],(0,+∞)),f∈C([0,ω]×[0,+∞)×R^(3),[0,+∞)).在允许非线性项满足超线性增长不等式条件的情况下,利用Green函数和锥上的不动点理论,获得上述四阶微分方程正周期解的存在性结果,并通过例子验证了主要结果的有效性.

基于梁的弯曲变形问题理解格林函数法

格林函数法作为求解偏微分方程的主要方法之一,是数学物理方程课的重点教学内容。格林函数在求解泊松方程及热传导方程等问题时得到了广泛的应用,但由于格林函数满足特定的定解问题并具有对称的性质,其主要内容的掌握一直是教学的难点。本文结合梁的弯曲问题和功的互等定理,阐述了格林函数及其对称性的力学意义,并对第一类和第二类边值问题的解中不同项的贡献进行了解释。相比于传统的格林函数教学方式,采用梁的弯曲问题进行讲解更为简单并易于理解。

一种提取目标图像最小外接矩形的快速算法

在图像分类与识别算法研究中,目标几何特征的提取通常需要计算目标图像的最小外接矩形以获取长、宽等属性。针对该特点,提出一种利用顶点链码与离散格林理论相结合的方式提取目标图像的最小外接矩形的算法。该算法只需根据顶点链中垂直或水平方向上的点坐标即可求出目标的面积、形心和主轴。基于顶点链码和离散格林的主轴法和旋转法可快速求出目标的最小外接矩形。实验结果表明,旋转法的运算速度是现有算法的2倍左右,主轴法的速度又比旋转法快速2倍左右。

再论渗透力及其应用

追述了多年来对渗透力学术观点的争论,并再就此问题论述了渗透力的物理概念及其与之相关的各力(包括渗流作用合力及其分解成的两个分力(渗透力和浮力)),渗透力与周边孔隙水压力的转换关系及各力作用在单位土体的图示;从数学上引用格林公式,证明土体表面水压力与土体本身渗透力之间的转换关系。并把渗透力应用到管涌问题,推导出能计算各级土颗粒的临界坡降公式;同时也列出早年引导出的滑坡计算公式。说明了引用渗透力研究管涌和滑坡问题的优越性。

心脏电活动的数学物理问题和高频心电图计算机模拟

本文利用正常心脏和病变心脏电活动模型以及躯于模型建立了产生常规心电图和高频心电图的数学物理问题，找出了用计算机解决这类数学物理问题的途径，并且用计算机模拟出正常心脏和异常（有病灶）心脏，包括病灶位置变化、病灶大小不同以及病灶不同严重程度等情况下，心电波图形的变化，显示出ＱＲＳ彼上高频切迹和扭结对病灶特性的敏感性和特异性，研究高频心电图ＱＲＳ波上的切迹、扭结的大小和分布状态与心脏疾病的内在联系。

时域中的潜体兴波研究(英文)

从格林定理出发,在边界面上布置Rankine源和偶极子,在时域中用时间步进法计算模拟了潜体近自由面运动的兴波现象,构建了一种处理兴波问题的计算模型。文中详细介绍了这种方法的理论推导和计算过程,并通过试算确定了适当的模型参数。通过对多个参数的变化调整,讨论了它们对潜体兴波阻力和波形变化的影响。大量的数值试验和与试验数据的比较,证实了该法作为三维数值波浪水池的一个支撑模型是可行、可靠的。

图像几何特征参数快速提取算法

图像分类识别是计算机视觉系统的重要组成部分,而正确快速地提取目标特征参数是图像分类识别的前提。本文针对目前图像几何特征参数提取算法存在运算量大的问题,提出一种快速的几何特征提取算法。算法首先采用顶点链码对图像连通区域进行编码,使之映射为一个闭合区域,然后将顶点链码的方向码与离散格林定理相结合,把曲面积分变为曲线积分,使多种几何特征参数的计算均可统一在该算法框架下。实验表明,该方法具有多参数计算统一性、运算量小、可适用于特殊区域等特点。

改进的低阶轮廓矩特征推导方法

轮廓矩特征能够有效描述目标的形状。与基于区域的矩特征不同,轮廓矩扫描目标周长像素点时,时间和空间复杂度低,但轮廓矩公式的推导过程复杂。提出用参数方程描述轮廓曲线段的方法,基于格林定理仅利用一次二项式定理推导出轮廓矩的一般表达式。以舰船投影图像为例计算了常用低阶轮廓矩,实验表明,与区域矩特征相比运行速度快,且质心误差不超过2%。

几何矩顺序算法的比较性研究

几何矩是用于推导平移、伸缩和旋转不变量的常用技术。用直接方法计算矩涉及大量的加法和乘法,因而有必要研究几何矩的快速算法。该文首先综述现有的对几何矩进行快速计算的顺序算法,然后用数字实验比较Delta方法、多线段积分方法、以及Li和Shen的格林定理法的性能。多线段积分方法和Delta方法在计算Hu矩不变量方面性能是相同的,但Delta方法仅适于处理二值水平连续图像,而多线段积分方法可以处理任意二值图像。与Li和Shen的格林定理法相比,多线段积分方法在计算精度上性能很完美。

用电磁场算子理论求波导复合系统的本征值

该文用并矢格林函数方法通过虚拟边界的电场和磁场的耦合求解波导复合结构的本征值,所采用的并矢格林函数没有奇异项,可以用标量格林函数来表示并进行计算,因此不仅可以计算横电与横磁模的基模和高次模式,还可以计算存在两个孪生模式的复合系统。该文同时还对经典场论中常用的一些定理,如面旋度定理进行了探讨。