方差相关恒等式与不等式——兼谈教学中的“见微知著”与“举重若轻”

从两个基本的方差恒等式出发,讨论与方差相关的一些恒等式与不等式及其应用.主要内容包括方差的非显式地依赖于期望的表示,切比雪夫序不等式(FKG不等式),用方差衡量延森不等式两边的亏损(∅熵不等式),Bregman散度与期望的联系,由方差相关等式得到的惠更斯-莱布尼兹恒等式、第二拉格朗日恒等式等代数恒等式及其在统计学教学中的应用.最后结合本文内容简要讨论教学中应该注意“见微知著”式的启发,“举重若轻”和“删繁就简”的教学方法,以及数学各学科的融合.

联系Bernoulli数和第二类Stirling数的一个恒等式

利用指数型生成函数建立起联系 Bernoulli数和第二类

关于包含奇-偶下标第二类契贝谢夫多项式的恒等式

给出了一类包含偶下标第二类契贝谢夫多项式和一类包含奇下标第二类契贝谢夫多项式求和的递推公式,得到了一些包含偶下标第二类契贝谢夫多项式和奇下标第二类契贝谢夫多项式的恒等式.

格林第二恒等式在相位解缠中的应用

研究了应用格林第二恒等式进行相位解缠的可能性。在假定相位的边界法线方向导数为已知的条件下，导出了一种基于格林第二恒等式的相位解缠算法，并且与最小二乘法及Ｇ．Ｆｏｒｎａｒｏ等人的算法进行比较。结果表明，这三者之间完全等效，由此有效地将Ｇ．Ｆｏｒｎａｒｏ等人的算法与最小二乘法联系在一起。

几个关于第二类Stirling数的无限求和恒等式(英文)

本文研究了从一个装有不同色的球的盒子中抽球的概率问题.考察所抽出的不同颜色数,利用概率方法,获得了关于第二类Stirling数的无限求和形式的组合恒等式以及有关组合解释,推广了Stirling数的无限求和结果.

一类关于包含奇-偶下标第二类契贝谢夫多项式乘积和的恒等式

利用初等方法给出了一类包含奇下标第二类契贝谢夫多项式乘积和与一类包含偶下标第二类契贝谢夫多项式乘积和的求和公式。

第二类stirling数的又一个恒等式的简化

第二类stirling数是分配问题中的最关键数,当n与r很大时stirling数的计算极为繁琐.给出并证明了当n≥12的第二类stirling数S(n,n-6)的恒等式,从而将n≥8的第二类stirling数S(n,n-4)的计算在文献[1]的基础上向前推进了一步.

非定域正则Ward恒等式

基于相空间Green函数的生成泛函，导出了非定域变换下正则形式的Ward恒等式．用于非AbelChern－Simons（CS）理论，得到了正规项角间的一些关系式．这里给出的形式的显著优点在于匆需作出相空间生成泛函中对正则动量的路径积分．在非AbelCS理论中的非定域变换下，仅要求和不变，即可导出正规顶角间的一些关系式．

高阶Bernoulli数与两类Stirling数的恒等式

利用高阶Bernoulli数与第一类Stirling数S1(n,k)和第二类Stirling数S2(n,k)的定义,研究了其母函数的幂级数展开,揭示了高阶Bernoulli数和第一类Stirling数S1(n,k)、第二类Stirling数S2(n,k)之间的内在联系,得到了几个高阶Bernoulli数和第一类Stirling数S1(n,k)、第二类Stirling数S2(n,k)有趣的恒等式.

与Bernoulli数相关的一组计数恒等式

应用生成函数 ,得出了与Bernoulli数Bn 相关的一组计数恒等式指出了Bn 与k阶Bernoulli数Bkn,k阶Bernoulli数Bkn 与第二类Stirling数Skn,Bn 与华蘅芳数Hkn,Bn 与第二类Stirling数Skn。

广义Fibonacci数的几个组合恒等式

利用母函数的方法,研究了第二类切比雪夫多项式;利用第二类切比雪夫多项式和广义Fibonacci数的内在联系,得到了有关广义Fibonacci数的几个恒等式.

用于积分方程解的函数值Padé-型逼近的恒等式与递推算法

函数值Padé-型逼近被引入来求解积分方程.文中建立了函数值Padé-型逼近的几个有用的恒等式,给出了一种新的递推算法,并通过实例说明了该方法的有效性.

广义Chebyshev多项式的表达式及恒等式

利用初等方法研究广义Chebyshev多项式的性质,得到了广义第一类Chebyshev多项式和第二类Chebyshev多项式的表达公式及其关系式.

Dirac算子的迹恒等式与微扰展式的一个关系

经典Dirac算子在微扰因子μ的扰动下,如果特征值能展为微扰参数的幂级数λn(μ)=λn(0)+μλn1+μ2λn2+…,利用Green函数的微扰展开式和一个积分恒等式,可得到迹恒等式的正则部分就是此展式的前3项,即∑∞(λn(μ)-λn(0)-μλn1-μ2λn2)=0,并且对特征值的正整幂λnσ也有类似现象.

二类切比雪夫多项式积和的几个组合恒等式

利用母函数的方法,研究了第一类和第二类切比雪夫多项式,分别得到二类切比雪夫多项式积和式的几个有趣的恒等式.并利用切比雪夫多项式和Fibonacci数、Lucas数的内在联系,得到了Fibonacci数和Lucas数之间的一些有趣的恒等式.

两个包含欧拉数的恒等式的等价性(英文)

基于n维多项式空间中基之间的线性变换,证明了两个包含欧拉数的恒等式是等价.

一个组合恒等式的推广及证明

使用独创的函数列{hp(x)},推广了一个重要的组合恒等式。

一些包含广义二项式系数的恒等式

本文讨论广义二项式系数的性质。

一个三角矩阵之逆与Catalan数恒等式

在简单介绍Catalan数和第二类Chebyshev多项式的基本知识后,以一种真实且自然的形式重新阐述研究过程,包括研究的动因,问题的产生,对问题答案的两种猜测,猜测的解决过程,由猜测的解答衍生出来的新结论,新成果与已知结果的比较等.这项研究的成果包括与第二类Chebyshev多项式和Catalan数相关的一个矩阵之逆、一个反演定理和几个恒等式.

对数恒等式在幂指函数极限中的应用

本文通过对教学过程中学生解题思路的分析,以及对典型例题的详解,在对数恒等式简化幂指函数形式的基础上,探讨了对数恒等式结合其他极限方法在解决复杂幂指函数极限问题中的综合应用,以提高学生分析和解决复杂极限问题的能力.